Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
17. zadatak
Zbir trećeg i četvrtog binomnog koeficijenata u razvoju [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+2\sqrt{x}\right)^n[/inlmath], [inlmath]x\ne0[/inlmath] iznosi [inlmath]165[/inlmath]. Član razvoja koji ne sadrži [inlmath]x[/inlmath] jednak je;
Tačan odgovor je [inlmath]3360[/inlmath].
Nisam se snašao kod početnog dela, tj. kod zbira binomnih koeficijenata;
[inlmath]3.[/inlmath] binomni koeficijent je [inlmath]\displaystyle\frac{n\left(n-1\right)}{2}[/inlmath], a [inlmath]4.[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}[/inlmath]
Kako je njihov zbir [inlmath]165[/inlmath], dobijamo;
[dispmath]\frac{3n\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=165[/dispmath] Odavde sam faktorisao [inlmath]n\left(n-1\right)[/inlmath];
[dispmath]n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=165[/dispmath] Dalje nisam znao kako da dobijem [inlmath]n[/inlmath], jer ću dobiti jednačinu trećeg stepena koju ne uspevam da rastavim. Šta bih mogao da iskoristim u ovom slučaju?
Hvala unapred.
P.S. Drugi deo zadatka bih znao da uradim, samo mi je problem dobiti [inlmath]n[/inlmath].