Razvoj binoma

PostPoslato: Četvrtak, 24. Jun 2021, 19:20
od qualizz
Odrediti za koje vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] šesti član razvoja binoma
[dispmath]\left(\sqrt[5]{2^{(x-2)\log3}}+\sqrt{2^{\log\left(10-3^x\right)}}\right)^n[/dispmath] iznosi [inlmath]21[/inlmath], ako je poznato da binomni koeficijenti drugog, trećeg i četvrtog člana predstavljaju redom prvi, treći i peti član aritmetičkog niza.

Pokušao sam da riješim
[dispmath]{n\choose5}=21[/dispmath] ali sam dobio polinom petog stepena, kod koga je slobodni član [inlmath]2520[/inlmath], tako da tim putem nisam uspio riješiti. Onda sam probao iz drugog uslova [dispmath]a_3=\frac{a_1+a_5}2[/dispmath] ali nisam ni to uspio riješiti jer se dobije faktorijel u jednačini. Kako pristupiti ovom zadatku na neki drugi način?

Napomena: pošto je zadatak sa slike, a ne vidi se baš najbolje, nisam siguran da li je pod drugim korijenom [inlmath]3^x[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath] na nešto drugo, ali mislim da je [inlmath]x[/inlmath].

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Petak, 25. Jun 2021, 04:51
od primus
[dispmath]a_1={n\choose1}=\frac{n\cdot\cancel{(n-1)!}}{1!\cdot\cancel{(n-1)!}}=n[/dispmath][dispmath]a_3={n\choose2}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot\cancel{(n-2)!}}{2!\cdot\cancel{(n-2)!}}=\frac{n\cdot(n-1)}{2}[/dispmath][dispmath]a_5={n\choose3}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cancel{(n-3)!}}{3!\cdot\cancel{(n-3)!}}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)}{6}[/dispmath]

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Petak, 25. Jun 2021, 08:10
od qualizz
Našao sam da je [inlmath]n=7[/inlmath], e sad imam problem sa pronalaskom [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]{10\choose k}2^{\large\frac{\left(x-2\right)\log3}{5}\left(10-k\right)}\cdot2^{\large\log\frac{\left(10-3^x\right)}{2}k}[/dispmath]

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Subota, 26. Jun 2021, 12:59
od primus
Reši:
[dispmath]{7\choose5}\cdot2^{(x-2)\cdot\log3}\cdot2^{\log\left(10-3^x\right)}=21[/dispmath]

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Nedelja, 27. Jun 2021, 22:58
od Micko
Sta znaci kada imamo samo logaritam bez osnove?

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Jun 2021, 07:49
od Kosinus
Logaritam bez osnove je logaritam po bazi [inlmath]10[/inlmath]. Dakle, ako stoji samo [inlmath]\log[/inlmath], podrazumijeva se da je to [inlmath]\log_{10}[/inlmath], pa [inlmath]10[/inlmath] ne moramo pisati.

Isto tako i za logaritam po bazi [inlmath]e[/inlmath] (prirodni logaritam) pišemo samo [inlmath]\ln[/inlmath] (eng. natural logarithm) umjesto [inlmath]\log_e[/inlmath].

A sve druge brojeve kao baze moramo pisati (naravno i da su pozitivni i različiti od [inlmath]1[/inlmath]).

Re: Razvoj binoma

PostPoslato: Utorak, 13. Jul 2021, 16:25
od rade
[inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath]