Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

Postod Acim » Petak, 25. Jun 2021, 10:55

Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
17. zadatak


U razvoju [inlmath]\left(x+\sqrt[3]{x^2}\right)^{2017}[/inlmath] broj članova oblika [inlmath]K\cdot x^{3m}[/inlmath], gde su [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] celi brojevi, jednak je;
Tačan odgovor je [inlmath]224[/inlmath]

Razvojem binoma, dobijamo sledeći oblik;
[dispmath]x^{2017-k}\cdot x^\frac{2k}{3}\\
x^\frac{6051-k}{3}[/dispmath] Da bi smo dobili celobrojne članove, navedeni izraz treba da bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], što nam je u suštini ujedno i uslov za [inlmath]k\cdot x^{3m}[/inlmath] (ovde sam već posumnjao na grešku pošto mi je isti postupak ispunjavao i drugi uslov)

Prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]0[/inlmath] pa [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] itd...
Preko nizova dobijam da mi je broj članova koji su celi brojevi [inlmath]673[/inlmath].
Nemam još uvek predstavu gde sam mogao da pogrešim. :think1:
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

Postod miletrans » Petak, 25. Jun 2021, 13:33

"Zaboravio" si jednu trojku. Ako je [inlmath]k=0[/inlmath], eksponent će imati vrednost [inlmath]2017[/inlmath]. Da li broj [inlmath]2017[/inlmath] možeš da napišeš u obliku [inlmath]3m[/inlmath] tako da [inlmath]m[/inlmath] bude ceo broj?
Globalni moderator
 
Postovi: 558
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 658 puta

Re: Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

Postod Acim » Petak, 25. Jun 2021, 14:10

Definitivno ne, ali opet ne uviđam de sam pogrešio. Kod kog dela sam jednu trojku zaboravio?
Uzeću za primer sličan zadatak sa drugog probnog iste godine, koji sam dobro uradio na isti način;
U razvoju [inlmath]\left(x-\sqrt{x}\right)^{2017}[/inlmath] broj članova koji su oblika [inlmath]K\cdot x^{3m}[/inlmath] gde su [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] celi brojevi jednak je;
Tačan odgovor je tu bio [inlmath]336[/inlmath]

Sličnim postupkom, dobio sam sledeće;
[dispmath]\frac{4034-k}{2}[/dispmath] Drugi uslov je da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath] što znači da treba sve da bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]
Tu bi prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslove bila za [inlmath]k=2[/inlmath] pa [inlmath]8,14,\ldots[/inlmath]
Formulom za opšti član dobio sam da celih brojeva ima [inlmath]336[/inlmath] što je i tačno rešenje.

Ali u ovom primeru, ne uočavam još uvek grešku, jer i prema jednom i drugom uslovu, član treba da bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +2

Re: Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

Postod miletrans » Petak, 25. Jun 2021, 20:11

Eksponent oblika [inlmath]\frac{6051-k}{3}[/inlmath] treba da bude deljiv sa tri da bi mogao da se napiše u obliku [inlmath]3m[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] ceo broj. Dakle, da bi ceo razlomak bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], brojilac mora da bude deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Ti si samo ispitivao slučaj kada je sam brojilac deljiv sa tri, bez provere da li je deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Na to sam mislio kada sam ti rekao da si zaboravio trojku.
Globalni moderator
 
Postovi: 558
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 658 puta

Re: Broj celobrojnih članova u razvoju binoma – prijemni FON septembar 2017.

Postod Daniel » Subota, 26. Jun 2021, 07:28

Acim je napisao:Sličnim postupkom, dobio sam sledeće;
[dispmath]\frac{4034-k}{2}[/dispmath] Drugi uslov je da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath] što znači da treba sve da bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]

Dakle, tu si ispravno rezonovao da nije dovoljno da brojilac bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], jer tada bi izraz bio ceo ali možda ne bi bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] kao što se u zadatku traži. E pa, uporedi to s ovim zadatkom gde u imeniocu umesto dvojke imaš trojku. Znači, ovde brojilac ne treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], već sa...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5018 puta
Pohvaljen: 4855 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot], rade i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 03. Jul 2022, 13:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs