MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
17. zadatak

U razvoju [inlmath]\left(x+\sqrt[3]{x^2}\right)^{2017}[/inlmath] broj članova oblika [inlmath]K\cdot x^{3m}[/inlmath], gde su [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] celi brojevi, jednak je;
Tačan odgovor je [inlmath]224[/inlmath]

Razvojem binoma, dobijamo sledeći oblik;
[dispmath]x^{2017-k}\cdot x^\frac{2k}{3}\\
x^\frac{6051-k}{3}[/dispmath] Da bi smo dobili celobrojne članove, navedeni izraz treba da bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], što nam je u suštini ujedno i uslov za [inlmath]k\cdot x^{3m}[/inlmath] (ovde sam već posumnjao na grešku pošto mi je isti postupak ispunjavao i drugi uslov)

Prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]0[/inlmath] pa [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] itd...
Preko nizova dobijam da mi je broj članova koji su celi brojevi [inlmath]673[/inlmath].
Nemam još uvek predstavu gde sam mogao da pogrešim.

"Zaboravio" si jednu trojku. Ako je [inlmath]k=0[/inlmath], eksponent će imati vrednost [inlmath]2017[/inlmath]. Da li broj [inlmath]2017[/inlmath] možeš da napišeš u obliku [inlmath]3m[/inlmath] tako da [inlmath]m[/inlmath] bude ceo broj?

Definitivno ne, ali opet ne uviđam de sam pogrešio. Kod kog dela sam jednu trojku zaboravio?
Uzeću za primer sličan zadatak sa drugog probnog iste godine, koji sam dobro uradio na isti način;
U razvoju [inlmath]\left(x-\sqrt{x}\right)^{2017}[/inlmath] broj članova koji su oblika [inlmath]K\cdot x^{3m}[/inlmath] gde su [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] celi brojevi jednak je;
Tačan odgovor je tu bio [inlmath]336[/inlmath]

Sličnim postupkom, dobio sam sledeće;
[dispmath]\frac{4034-k}{2}[/dispmath] Drugi uslov je da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath] što znači da treba sve da bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]
Tu bi prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslove bila za [inlmath]k=2[/inlmath] pa [inlmath]8,14,\ldots[/inlmath]
Formulom za opšti član dobio sam da celih brojeva ima [inlmath]336[/inlmath] što je i tačno rešenje.

Ali u ovom primeru, ne uočavam još uvek grešku, jer i prema jednom i drugom uslovu, član treba da bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].

Eksponent oblika [inlmath]\frac{6051-k}{3}[/inlmath] treba da bude deljiv sa tri da bi mogao da se napiše u obliku [inlmath]3m[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] ceo broj. Dakle, da bi ceo razlomak bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], brojilac mora da bude deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Ti si samo ispitivao slučaj kada je sam brojilac deljiv sa tri, bez provere da li je deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Na to sam mislio kada sam ti rekao da si zaboravio trojku.

Acim je napisao:Sličnim postupkom, dobio sam sledeće;
[dispmath]\frac{4034-k}{2}[/dispmath] Drugi uslov je da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath] što znači da treba sve da bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]

Dakle, tu si ispravno rezonovao da nije dovoljno da brojilac bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], jer tada bi izraz bio ceo ali možda ne bi bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] kao što se u zadatku traži. E pa, uporedi to s ovim zadatkom gde u imeniocu umesto dvojke imaš trojku. Znači, ovde brojilac ne treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], već sa...