Zadatak: How many [inlmath]4[/inlmath]-permutations of the positive integers not exceeding [inlmath]100[/inlmath] contain [inlmath]3[/inlmath] consecutive integers in the correct order in consecutive positions in the permutation?
Zadatak na srpskom: Koliko permutacija od cetiri brojeva, pozitivnih celih brojeva ne vecih od [inlmath]100[/inlmath], sadrzi tri iste cifre zaredom na razlicitim pozicijama permutacije?
Ja mislim da je moj prevod u redu, ako neko misli da sam mozda pogresio sa prevodjenjem (sto bi verovatno skroz promenilo logiku zadatka) neka kaze slobodno.
Ovo je moje resenje... [inlmath]89101+\underbrace{81000+89101}_{170101}+81000=340202[/inlmath]
Zadatak, ako sam ja dobro shvatio, trazi uzastopno pojavljivanje iste cifre [inlmath]3[/inlmath] puta ali iskljucivo na razlicitim pozicijama, sto ce reci da broj [inlmath]\underline{99};\underline{9};8;7[/inlmath] ne spada u grupu permutacija/varijacija koje trazimo. E sad, otkud bas ovi brojevi gore, pokusacu da objasnim sto bolje mogu...
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
{\color{red}1.} & {\color{blue}9} & {\color{blue}9} & x & x\\ \hline
{\color{red}2.} & {\color{blue}8} & {\color{blue}8} & x & x\\ \hline
{\color{red}3.} & {\color{blue}7} & {\color{blue}7} & x & x\\ \hline
{\color{red}4.} & {\color{blue}6} & {\color{blue}6} & x & x\\ \hline
{\color{red}5.} & {\color{blue}5} & {\color{blue}5} & x & x\\ \hline
{\color{red}6.} & {\color{blue}4} & {\color{blue}4} & x & x\\ \hline
{\color{red}7.} & {\color{blue}3} & {\color{blue}3} & x & x\\ \hline
{\color{red}8.} & {\color{blue}2} & {\color{blue}2} & x & x\\ \hline
{\color{red}9.} & {\color{blue}1} & {\color{blue}1} & x & x\\ \hline
\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c|c|c|}
{\color{red}1.} & x & {\color{blue}9} & {\color{blue}9} & x\\ \hline
{\color{red}2.} & x & {\color{blue}8} & {\color{blue}8} & x\\ \hline
{\color{red}3.} & x & {\color{blue}7} & {\color{blue}7} & x\\ \hline
{\color{red}4.} & x & {\color{blue}6} & {\color{blue}6} & x\\ \hline
{\color{red}5.} & x & {\color{blue}5} & {\color{blue}5} & x\\ \hline
{\color{red}6.} & x & {\color{blue}4} & {\color{blue}4} & x\\ \hline
{\color{red}7.} & x & {\color{blue}3} & {\color{blue}3} & x\\ \hline
{\color{red}8.} & x & {\color{blue}2} & {\color{blue}2} & x\\ \hline
{\color{red}9.} & x & {\color{blue}1} & {\color{blue}1} & x\\ \hline
\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c|c|c|}
{\color{red}1.} & x & x & {\color{blue}9} & {\color{blue}9}\\ \hline
{\color{red}2.} & x & x & {\color{blue}8} & {\color{blue}8}\\ \hline
{\color{red}3.} & x & x & {\color{blue}7} & {\color{blue}7}\\ \hline
{\color{red}4.} & x & x & {\color{blue}6} & {\color{blue}6}\\ \hline
{\color{red}5.} & x & x & {\color{blue}5} & {\color{blue}5}\\ \hline
{\color{red}6.} & x & x & {\color{blue}4} & {\color{blue}4}\\ \hline
{\color{red}7.} & x & x & {\color{blue}3} & {\color{blue}3}\\ \hline
{\color{red}8.} & x & x & {\color{blue}2} & {\color{blue}2}\\ \hline
{\color{red}9.} & x & x & {\color{blue}1} & {\color{blue}1}\\ \hline
\end{array}[/dispmath] [inlmath]\ast[/inlmath] U prvoj tabeli treci broj moze biti ili jednocifrena [inlmath]9[/inlmath]-ka ili dvocifreni brojevi koji pocinju sa [inlmath]9[/inlmath]... Pa ce biti [inlmath]11\cdot100[/inlmath], a posto imamo [inlmath]9[/inlmath] brojeva bice, [inlmath]9\cdot11\cdot100=89100[/inlmath] i dodajemo jos jedinicu zato sto imamo i varijantu sa [inlmath]100[/inlmath]-kom kod jedinice tj. [inlmath]89101[/inlmath]...
[inlmath]\ast[/inlmath] U drugoj tabeli imamo isti slucaj za broj u cetvrtoj koloni tj. [inlmath]89101[/inlmath] i [inlmath]81000[/inlmath] jer kada je broj ispred nemamo [inlmath]10[/inlmath] dvocifrenih brojeva koji zadovoljavaju slucaj vec samo [inlmath]9[/inlmath] i jedan jednocifreni broj... Stoga imamo [inlmath]89101+9\cdot10\cdot100=89101+81000=170101[/inlmath]...
[inlmath]\ast[/inlmath] Treci slucaj ima [inlmath]9\cdot10\cdot100=81000[/inlmath]...
Stoga je rezultat na kraju [inlmath]89101+170101+81000=340202[/inlmath]...