-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Sendvic za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od Sendvic » Ponedeljak, 23. Maj 2022, 00:09
Pozdrav, ne znam da li postoji laksi nacin za resavanje ovog zadatka, ali ja sam ga resio ovako:
Prvo cemo ispisati binomnu formulu
[dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]6\right)^n={n\choose k}\cdot2^{(n-k)/2}\cdot6^{k/3}[/dispmath] U tekstu zadatka pise da nam je broj clanova deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Kako [inlmath]k[/inlmath] krece od nule i ide do [inlmath]n[/inlmath], clanova imamo [inlmath]n+1[/inlmath]. Znaci [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Takodje je dat broj prirodnih, u ovom slucaju racionalnih clanova razvoja. To nam govori da je zbir brojeva koji zadovoljavaju uslov da [inlmath]n-k[/inlmath] bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], i da [inlmath]k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], jednak [inlmath]35[/inlmath].
Moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] su kao u svakom razvoju [inlmath]k\in\{0,1,2,3,4,\ldots,n\}[/inlmath]. Kada ostavimo brojeve deljive samo sa [inlmath]3[/inlmath] dobicemo [inlmath]k\in\{0,3,6,9,\ldots,n\}[/inlmath].
Posto je broj racionalnih clanova [inlmath]35[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] mora da bude jednak ili veci od tog broja. Takodje, drzimo na umu da [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Znaci [inlmath]n\in\{35,41,47,\ldots\}[/inlmath]
Ako uzmemo u obzir da [inlmath]n-k[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], a opcije za [inlmath]n[/inlmath] su ocigledno samo neparni brojevi, to znaci da [inlmath]k[/inlmath] takodje treba da bude neparan. Ubacujuci i taj uslov u moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] i dobijamo [inlmath]k\in\{3,9,15,21,\ldots\}[/inlmath]
Da bi dobili poslednji racionalan koeficijent u ovom razvoju, mozemo gledati moguce opcije za [inlmath]k[/inlmath] kao aritmeticki niz gde je pocetna vrednost [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]d=6[/inlmath], i trazimo [inlmath]35.[/inlmath] clan tog niza.
Ubacujuci formulu za clan aritmetickog niza dobijamo [inlmath]a_{35}=(35-1)\cdot6+3=207[/inlmath]. Sledeci racionalni koeficijent bi nam bio [inlmath]213[/inlmath], tako da znamo da [inlmath]n[/inlmath] mora biti manji od [inlmath]213[/inlmath] i veci ili jednak [inlmath]207[/inlmath]. To nas ostavlja sa mogucim slucajevima za [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n\in\{207,209,211\}[/inlmath]. Prisecajuci se uslova da [inlmath]n+1[/inlmath] treba da bude deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], ostaje nam jedino [inlmath]n=209[/inlmath]. Znaci, imamo [inlmath]210[/inlmath] clanova niza, od kojih su [inlmath]35[/inlmath] racionalni. Dakle, imamo [inlmath]210-35=175[/inlmath] iracionalnih clanova.
Ako jos uvek imas poteskoca oko zadatka, slobodno pitaj.