Stranica 1 od 1

Koliko ima trocifrenih brojeva deljivih sa 3

PostPoslato: Sreda, 03. Avgust 2022, 19:57
od Griezzmiha
Zadatak: Koliko ima trocifrenih brojeva sastavljenih od cifara [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath] koji su deljivi brojem [inlmath]3[/inlmath]? Cifre u brojevima se mogu ponavljati.

Ne znam da li ovde treba da se koriste varijacije ili permutacije ili sta vec... Ovo je bukvalno zadatak za 5-ti razred osnovne, moze i bez formula da se resava (mozda je to cak i lakse, sta znam)... Ali mene zanima moze li se nekako resiti sa ovim formulama?

Re: Koliko ima trocifrenih brojeva deljivih sa 3

PostPoslato: Četvrtak, 04. Avgust 2022, 22:45
od Daniel
Nema ovaj zadatak mnogo veze s kombinatorikom, ali i te kako ima s teorijom brojeva. Slučajevi se bukvalno mogu i prebrojati, jer ih nema puno (potrebno je samo da zbir te tri cifre bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], a cifre mogu biti samo [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath]). Ako baš želimo da idemo po nekom pravilu, mogu se koristiti kongruencije, po modulu [inlmath]3[/inlmath]. Moguća su dva slučaja da bi zbir cifara bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] (i, samim tim, taj trocifren broj bio deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]):
  • Sve tri cifre su međusobno kongruentne po modulu [inlmath]3[/inlmath] (npr. [inlmath]990[/inlmath], [inlmath]555[/inlmath]...)
  • Nikoje dve cifre nisu međusobno kongruentne po modulu [inlmath]3[/inlmath] (npr. [inlmath]501[/inlmath], [inlmath]195[/inlmath]...)
(Naravno, od date četiri cifre, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath] su međusobno kongruentne po modulu [inlmath]3[/inlmath], dok ni [inlmath]1[/inlmath] ni [inlmath]5[/inlmath] nisu kongruentne po modulu [inlmath]3[/inlmath] ni s jednom od preostale tri cifre.)