Na ulasku u restoran svaki od [inlmath]n[/inlmath] ljudi ostavio je na ulazu šešir i kišobran. Na izlasku oni nasumice uzimaju jedan kišobran i jedan šešir. Koliko je načina da se to učini?
Idemo postepeno, ako su dvojica:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*
\end{matrix}[/dispmath] Tada može biti samo jedan slučaj: [inlmath]Abb*,Baa*[/inlmath]
Ako imamo tri čoveka:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*\\
C & c & c*
\end{matrix}[/dispmath] Tada imamo četiri mogućnosti:
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Baa* & Caa*\\
Abc* & Bcc* & Cbb*\\
Acb* & Bac* & Cab*\\
Acc* & Bca* & Cba*
\end{matrix}[/dispmath]
Ako imamo četiri čoveka:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*\\
C & c & c*\\
D & d & d*
\end{matrix}[/dispmath] Tada imamo devet mogućnosti:
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Baa* & Caa* & Daa*\\
Abc* & Bac* & Cab* & Dab*\\
Abd* & Bad* & Cad* & Dac*\\
Acb* & Bca* & Cba* & Dba*\\
Acc* & Bcc* & Cbb* & Dbb*\\
Acd* & Bcd* & Cbd* & Dbc*\\
Ada* & Bda* & Cda* & Dca*\\
Adb* & Bdc* & Cdb* & Dcb*\\
Adc* & Bdd* & Cdd* & Dcc*
\end{matrix}[/dispmath]
Dakle, ukoliko je reč o dva čoveka imamo samo jednu mogućnost da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
Ukoliko je reč o tri imamo četiri mogućnosti da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
Ukoliko je reč o četiri čoveka imamo devet mogućnosti da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
[dispmath]\begin{matrix}
\text{Broj ljudi} & & & & \text{Broj mogućnosti}\\
2 & \cdots & 1 & = & 1^2\\
3 & \cdots & 4 & = & 2^2\\
4 & \cdots & 9 & = & 3^2\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
n & \cdots & & & (n-1)^2
\end{matrix}[/dispmath]
Broj načina da od [inlmath]n[/inlmath] ljudi nitko ne uzme svoje stvari bio bi [inlmath](n-1)^2[/inlmath]. ?
Gde sam pogrešila? :/