Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Provjera zadatka – problem šešira i kišobrana

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Provjera zadatka – problem šešira i kišobrana

Postod inga123 » Subota, 03. Decembar 2022, 11:08

Na ulasku u restoran svaki od [inlmath]n[/inlmath] ljudi ostavio je na ulazu šešir i kišobran. Na izlasku oni nasumice uzimaju jedan kišobran i jedan šešir. Koliko je načina da se to učini?
Idemo postepeno, ako su dvojica:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*
\end{matrix}[/dispmath] Tada može biti samo jedan slučaj: [inlmath]Abb*,Baa*[/inlmath]

Ako imamo tri čoveka:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*\\
C & c & c*
\end{matrix}[/dispmath] Tada imamo četiri mogućnosti:
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Baa* & Caa*\\
Abc* & Bcc* & Cbb*\\
Acb* & Bac* & Cab*\\
Acc* & Bca* & Cba*
\end{matrix}[/dispmath]
Ako imamo četiri čoveka:
[dispmath]\begin{matrix}
\text{čovek} & \text{šešir} & \text{kišobran}\\
A & a & a*\\
B & b & b*\\
C & c & c*\\
D & d & d*
\end{matrix}[/dispmath] Tada imamo devet mogućnosti:
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Baa* & Caa* & Daa*\\
Abc* & Bac* & Cab* & Dab*\\
Abd* & Bad* & Cad* & Dac*\\
Acb* & Bca* & Cba* & Dba*\\
Acc* & Bcc* & Cbb* & Dbb*\\
Acd* & Bcd* & Cbd* & Dbc*\\
Ada* & Bda* & Cda* & Dca*\\
Adb* & Bdc* & Cdb* & Dcb*\\
Adc* & Bdd* & Cdd* & Dcc*
\end{matrix}[/dispmath]
Dakle, ukoliko je reč o dva čoveka imamo samo jednu mogućnost da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
Ukoliko je reč o tri imamo četiri mogućnosti da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
Ukoliko je reč o četiri čoveka imamo devet mogućnosti da niti jedan od njih ne uzme svoje stvari.
[dispmath]\begin{matrix}
\text{Broj ljudi} & & & & \text{Broj mogućnosti}\\
2 & \cdots & 1 & = & 1^2\\
3 & \cdots & 4 & = & 2^2\\
4 & \cdots & 9 & = & 3^2\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
n & \cdots & & & (n-1)^2
\end{matrix}[/dispmath]
Broj načina da od [inlmath]n[/inlmath] ljudi nitko ne uzme svoje stvari bio bi [inlmath](n-1)^2[/inlmath]. ?

Gde sam pogrešila? :/ :think1:
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 06. Decembar 2022, 21:04, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
inga123  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Provjera zadatka – problem šešira i kišobrana

Postod Daniel » Utorak, 06. Decembar 2022, 21:05

Hajde prvo da razjasnimo kako tačno glasi tekst zadatka.
Ovako kako je napisano traži se broj načina na koji je moguće da ljudi uzmu šešire i kišobrane.
Međutim, ti si radila kao da se traži broj načina da nijedan od tih ljudi ne uzme svoj šešir i kišobran.
Ako je u pitanju ovo drugo, da li se traži da niko ne uzme ni svoj šešir ni svoj kišobran, ili se traži da ne uzme bar jednu od svoje dve stvari.

Takođe, pošto pitaš gde si pogrešila, pretpostavljam da ti je poznato koje je tačno rešenje. Potrebno je da napišeš i njega.

Tačka 11. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Provjera zadatka – problem šešira i kišobrana

Postod inga123 » Utorak, 06. Decembar 2022, 21:23

Hvala na odgovoru.
Da, zadatak ustvari glasi tačno ovako:
Na ulasku u restoran svaki od [inlmath]n[/inlmath] ljudi ostavio je na ulazu šešir i kišobran. Na izlasku oni nasumice uzimaju jedan kišobran i jedan šešir. Dokažite da je broj načina da se to učini tako da niko ne uzme svoje stvari jednak:
[dispmath]\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)!^2[/dispmath]
inga123  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Provjera zadatka – problem šešira i kišobrana

Postod Daniel » Sreda, 07. Decembar 2022, 01:21

Da ne bude zabune, ovaj kvadrat se odnosi na celu sumu. Dakle, rezultat, nedvosmisleno napisan, glasi
[dispmath]\left(\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)!\right)^2[/dispmath] Broj načina na koji [inlmath]n[/inlmath] osoba može uzeti svaka po jedan šešir pri čemu nijedna osoba ne uzme svoj šešir, iznosi [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)![/inlmath]. Kako se dolazi do tog rezultata, objašnjeno je u ovoj temi (neka te ne buni to što tamo suma ide od [inlmath]2[/inlmath] a ovde od [inlmath]0[/inlmath] – isti je đavo, jer su članovi za [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath] jednaki po apsolutnoj vrednosti a suprotni po znaku, pa se međusobno poništavaju).

Isto toliko iznosi i broj načina pri izboru kišobrana (tako da nijedna osoba ne uzme svoj kišobran). E sada, pošto su izbor šešira i izbor kišobrana međusobno nezavisni, to svakom načinu izbora šešira odgovara [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)![/inlmath] načina za izbor kišobrana, tako da radi dobijanja ukupnog broja načina i za šešire i za kišobrane, broj načina za izbor šešira, [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)![/inlmath], treba pomnožiti brojem načina za izbor kišobrana, [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)![/inlmath], a to zapravo znači da izraz [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}(n-k)![/inlmath] treba kvadrirati.

Inače, rezultat je već za [inlmath]n\ge5[/inlmath] vrlo blizak vrednosti [inlmath]\left(\frac{n!}{e}\right)^2[/inlmath], na linkovanoj temi je objašnjeno i zašto.



Tvoja greška je bila u sledećem:
inga123 je napisao:Tada imamo četiri mogućnosti:
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & B{\color{red}a}{\color{orange}a*} & C{\color{red}a}{\color{orange}a*}\\
A{\color{red}b}{\color{orange}c*} & Bc{\color{orange}c*} & C{\color{red}b}b*\\
Ac{\color{red}b*} & B{\color{orange}a}c* & C{\color{orange}a}{\color{red}b*}\\
A{\color{red}c}c* & B{\color{red}c}{\color{orange}a*} & Cb{\color{orange}a*}
\end{matrix}[/dispmath]

Prvi red – ne može istovremeno biti i [inlmath]Baa*[/inlmath] i [inlmath]Caa*[/inlmath]. Ako je [inlmath]B[/inlmath] uzeo šešir i kišobran osobe [inlmath]A[/inlmath], tada osoba [inlmath]C[/inlmath] ne može uzeti taj šešir i kišobran koji su već kod osobe [inlmath]B[/inlmath].
Slične greške imaš i u preostala tri reda (ako je [inlmath]A[/inlmath] uzeo šešir osobe [inlmath]B[/inlmath] tada ne može i [inlmath]C[/inlmath] uzeti šešir osobe [inlmath]B[/inlmath] jer je taj šešir već kod osobe [inlmath]A[/inlmath]) itd.
Ispravni načini bi bili
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Bcc* & Caa*\\
Abc* & Bca* & Cab*\\
Acb* & Bac* & Cba*\\
Acc* & Baa* & Cbb*
\end{matrix}[/dispmath] U razmatranju četiri osobe takođe ti se u svim slučajevima koje si navela pojavljuje pomenuta greška, a mnoge slučajeve i nisi navela, tako da se umesto tvojih devet slučajeva (od kojih zapravo nijedan i nije validan) dobija [inlmath]81[/inlmath] slučaj. Konkretno, neki od slučajeva bili bi
[dispmath]\begin{matrix}
Abb* & Baa* & Cdd* & Dcc*\\
Abb* & Bac* & Cdd* & Dca*\\
Abb* & Bad* & Cda* & Dcc*\\
Abb* & Bca* & Cdd* & Dac*
\end{matrix}\\
\vdots[/dispmath] a njih si u svom nabrajanju izostavila.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 43 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs