MATEMANIJA

U ormanu se nalazi [inlmath]10[/inlmath] razlicitih pari cipela. Na koliko nacina mozemo izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da medju izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

Baš simpa zadatak. I, šta s njim?

Pa imate li neku ideju kako da resimo?

Pa, onda tako reci.

Imam dve ideje.

Prva je, da nađeš broj načina na koje možeš od tih [inlmath]20[/inlmath] cipela izabrati bilo koje [inlmath]4[/inlmath] cipele (nebitno da li se među njima nalaze parovi istih ili ne), a zatim od tog broja oduzmeš broj načina na koji možeš izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da među njima ne bude nijedan par istih. Razlika ta dva broja načina biće jednaka upravo onom broju načina koji tražimo – da se među [inlmath]4[/inlmath] odabrane cipele nalazi bar jedan par istih.

Druga ideja je, da nađeš broj načina na koji možeš izvući jedan par istih (jer treba da imamo najmanje jedan par istih), a zatim to pomnožiš brojem načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih cipela (nebitno da li će te druge dve biti iz istog para ili ne). Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.

Pa sad biraj koji način ti je zgodniji. I na jedan i na drugi način treba da dobiješ [inlmath]1485[/inlmath].

U drugoj ideji spominjete dva para istih cipela. Kako je to moguce kad imamo [inlmath]10[/inlmath] razlicitih para cipela?

Spominjemo dva para istih cipela, jer se u svakom paru nalaze dve iste cipele. Dobro, slažem se da je to što sam napisao pleonazam, podrazumeva se da su u jednom paru dve iste cipele. Znači, bilo je dovoljno da kažem – dva para cipela.

Zadatak 1.

U ormanu se nalazi [inlmath]10[/inlmath] različitih pari cipela. Na koliko načina možemo izabrati četiri cipele tako da među izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

---

Prvo, da li ukupan broj mogućnosti da se odaberu bilo koje četiri cipele iznosi [inlmath]\frac{\cancelto{10}{20}\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{\cancel{2}}=58140[/inlmath]? Pošto za svaku permutaciju možemo zameniti mesta dvema istim cipelama, računao sam da ima duplo manje permutacija, zato sam delio sa dvojkom.

Ako je to tačno, dalje bi trebalo izračunati koliko ima mogućnosti da se ne odabere nijedan par istih cipela. Palo mi je na pamet da to odradim ovako: [inlmath]10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040[/inlmath], pošto imamo [inlmath]10[/inlmath] različitih cipela.

---

Valja li nešto od ovoga? Nisam smeo dalje.

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić).

Već smo imali isti zadatak, i tu imaš opisane dve logike rešavanja.

Tvoja logika je u principu ok (pretpostavljam da si mislio da to posle oduzmeš), ali rešenja nisu.

Pre svega, množenje dvojkom je nepotrebno kod računanja ukupnog broja kombinacija:
[dispmath]x_1={20\choose4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4!}=4845[/dispmath] Broj načina da se ne odabere nijedan par istih cipela možemo izračunati ovako. Prvu cipelu možemo birati na [inlmath]20[/inlmath] načina. Sledeću na [inlmath]18[/inlmath] (pošto ne smemo odabrati odgovarajući par). Naredna mora da bude različita od prethodne dve, pa se ona bira na [inlmath]16[/inlmath] načina. Ostalo je [inlmath]17[/inlmath] cipela, ne smemo izabrati tri od njih kako ne bi bilo parova, pa se četvrta može izabrati na [inlmath]14[/inlmath] načina. E sad, pošto nije bitan redosled izvlačenja, dodatno ćemo to podeliti sa [inlmath]4![/inlmath]. To znači da je broj mogućnosti:
[dispmath]x_2=\frac{20\cdot18\cdot16\cdot14}{4!}=3360[/dispmath] Kada se ova dva broja oduzmu dobije se: [inlmath]x=x_1-x_2=4845-3360=1485[/inlmath]

Milovan je napisao:Pre svega, množenje sa dvojkom je nepotrebno kod računanja ukupnog broja kombinacija:

Ma, tu sam se zeznuo, jer nisam prepoznao da su kombinacije u pitanju, nego sam mislio da su varijacije, a izraz podelio sa dvojkom, pošto sam mislio da to treba tako, jer ima po dve iste cipele.

Milovan je napisao:[dispmath]x_2=\frac{20\cdot 18\cdot 16\cdot 14}{4!}=3360[/dispmath]

E, ovo je zanimljivo, ne bih se ovoga setio.


Hvala, Milovane.

Pošto je već pokazana realizacija jedne ideje za rešavanje ovog zadatka, pokazaću sad realizaciju i druge ideje, kako bismo imali zaokruženu ovu priču.

Daniel je napisao:Druga ideja je, da nađeš broj načina na koji možeš izvući jedan par istih (jer treba da imamo najmanje jedan par istih), a zatim to pomnožiš brojem načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih cipela (nebitno da li će te druge dve biti iz istog para ili ne). Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.

Broj načina na koji možemo izvući jedan par istih cipela je [inlmath]10[/inlmath]. Broj načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih [inlmath]18[/inlmath] cipela je [inlmath]18\choose 2[/inlmath]. Od tog broja, dakle, oduzmemo broj načina na koji možemo izvući dva para istih, a koji iznosi [inlmath]10\choose 2[/inlmath] (jer ovde parove posmatramo kao elemente skupa koje odabiramo – ima ih ukupno [inlmath]10[/inlmath], a mi odabiramo [inlmath]2[/inlmath]).
[dispmath]10\cdot{18\choose 2}-{10\choose 2}=10\cdot\frac{18\cdot 17}{2}-\frac{10\cdot 9}{2}=10\cdot 9\left(17-\frac{1}{2}\right)=90\cdot\frac{33}{2}=45\cdot 33=1485[/dispmath]