MATEMANIJA

U ormanu se nalazi [inlmath]10[/inlmath] razlicitih pari cipela. Na koliko nacina mozemo izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da medju izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

Baš simpa zadatak. I, šta s njim?

Pa imate li neku ideju kako da resimo?

Pa, onda tako reci.

Imam dve ideje.

Prva je, da nađeš broj načina na koje možeš od tih [inlmath]20[/inlmath] cipela izabrati bilo koje [inlmath]4[/inlmath] cipele (nebitno da li se među njima nalaze parovi istih ili ne), a zatim od tog broja oduzmeš broj načina na koji možeš izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da među njima ne bude nijedan par istih. Razlika ta dva broja načina biće jednaka upravo onom broju načina koji tražimo – da se među [inlmath]4[/inlmath] odabrane cipele nalazi bar jedan par istih.

Druga ideja je, da nađeš broj načina na koji možeš izvući jedan par istih (jer treba da imamo najmanje jedan par istih), a zatim to pomnožiš brojem načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih cipela (nebitno da li će te druge dve biti iz istog para ili ne). Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.

Pa sad biraj koji način ti je zgodniji. I na jedan i na drugi način treba da dobiješ [inlmath]1485[/inlmath].

U drugoj ideji spominjete dva para istih cipela. Kako je to moguce kad imamo [inlmath]10[/inlmath] razlicitih para cipela?

Spominjemo dva para istih cipela, jer se u svakom paru nalaze dve iste cipele. Dobro, slažem se da je to što sam napisao pleonazam, podrazumeva se da su u jednom paru dve iste cipele. Znači, bilo je dovoljno da kažem – dva para cipela.

Zadatak 1.

U ormanu se nalazi [inlmath]10[/inlmath] različitih pari cipela. Na koliko načina možemo izabrati četiri cipele tako da među izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

---

Prvo, da li ukupan broj mogućnosti da se odaberu bilo koje četiri cipele iznosi [inlmath]\frac{\cancelto{10}{20}\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{\cancel{2}}=58140[/inlmath]? Pošto za svaku permutaciju možemo zameniti mesta dvema istim cipelama, računao sam da ima duplo manje permutacija, zato sam delio sa dvojkom.

Ako je to tačno, dalje bi trebalo izračunati koliko ima mogućnosti da se ne odabere nijedan par istih cipela. Palo mi je na pamet da to odradim ovako: [inlmath]10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040[/inlmath], pošto imamo [inlmath]10[/inlmath] različitih cipela.

---

Valja li nešto od ovoga? Nisam smeo dalje.

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić).

Već smo imali isti zadatak, i tu imaš opisane dve logike rešavanja.

Tvoja logika je u principu ok (pretpostavljam da si mislio da to posle oduzmeš), ali rešenja nisu.

Pre svega, množenje dvojkom je nepotrebno kod računanja ukupnog broja kombinacija:
[dispmath]x_1={20\choose4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4!}=4845[/dispmath] Broj načina da se ne odabere nijedan par istih cipela možemo izračunati ovako. Prvu cipelu možemo birati na [inlmath]20[/inlmath] načina. Sledeću na [inlmath]18[/inlmath] (pošto ne smemo odabrati odgovarajući par). Naredna mora da bude različita od prethodne dve, pa se ona bira na [inlmath]16[/inlmath] načina. Ostalo je [inlmath]17[/inlmath] cipela, ne smemo izabrati tri od njih kako ne bi bilo parova, pa se četvrta može izabrati na [inlmath]14[/inlmath] načina. E sad, pošto nije bitan redosled izvlačenja, dodatno ćemo to podeliti sa [inlmath]4![/inlmath]. To znači da je broj mogućnosti:
[dispmath]x_2=\frac{20\cdot18\cdot16\cdot14}{4!}=3360[/dispmath] Kada se ova dva broja oduzmu dobije se: [inlmath]x=x_1-x_2=4845-3360=1485[/inlmath]

Milovan je napisao:Pre svega, množenje sa dvojkom je nepotrebno kod računanja ukupnog broja kombinacija:

Ma, tu sam se zeznuo, jer nisam prepoznao da su kombinacije u pitanju, nego sam mislio da su varijacije, a izraz podelio sa dvojkom, pošto sam mislio da to treba tako, jer ima po dve iste cipele.

Milovan je napisao:[dispmath]x_2=\frac{20\cdot 18\cdot 16\cdot 14}{4!}=3360[/dispmath]

E, ovo je zanimljivo, ne bih se ovoga setio.


Hvala, Milovane.

Pošto je već pokazana realizacija jedne ideje za rešavanje ovog zadatka, pokazaću sad realizaciju i druge ideje, kako bismo imali zaokruženu ovu priču.

Daniel je napisao:Druga ideja je, da nađeš broj načina na koji možeš izvući jedan par istih (jer treba da imamo najmanje jedan par istih), a zatim to pomnožiš brojem načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih cipela (nebitno da li će te druge dve biti iz istog para ili ne). Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.

Broj načina na koji možemo izvući jedan par istih cipela je [inlmath]10[/inlmath]. Broj načina na koji možemo izvući još bilo koje dve od preostalih [inlmath]18[/inlmath] cipela je [inlmath]18\choose 2[/inlmath]. Od tog broja, dakle, oduzmemo broj načina na koji možemo izvući dva para istih, a koji iznosi [inlmath]10\choose 2[/inlmath] (jer ovde parove posmatramo kao elemente skupa koje odabiramo – ima ih ukupno [inlmath]10[/inlmath], a mi odabiramo [inlmath]2[/inlmath]).
[dispmath]10\cdot{18\choose 2}-{10\choose 2}=10\cdot\frac{18\cdot 17}{2}-\frac{10\cdot 9}{2}=10\cdot 9\left(17-\frac{1}{2}\right)=90\cdot\frac{33}{2}=45\cdot 33=1485[/dispmath]

ne mogu da povezem nikako zasto se oduzimalo br. kombinacija od [inlmath]10[/inlmath] elemenata druge klase na kraju? cini mi se kao da na taj način otpisujem sve kombinaciije u kojim imamo dva para izvuceno, a u zadatku kaze da treba da bude najmanje jedan par,

Daniel je napisao:Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.

, ovaj deo ..

Radi manje pisanja, pokazaću ti to na primeru s [inlmath]4[/inlmath] para cipela, jer princip je isti...

Znači, imamo cipele obeležene sa [inlmath]A,A,B,B,C,C,D,D[/inlmath].

Broj načina na koji možemo izvuči jedan par istih cipela je [inlmath]4[/inlmath] (u originalnom zadatku je [inlmath]10[/inlmath], jer smo u njemu imali [inlmath]10[/inlmath] pari cipela). To su sledeći načini: [inlmath]AA[/inlmath], [inlmath]BB[/inlmath], [inlmath]CC[/inlmath] ili [inlmath]DD[/inlmath]. Nakon toga izabiramo bilo koje dve od preostalih cipela.

Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]AA[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
AABB & AABC & AABD & AACC & AACD & AADD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]BB[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
BBAA & BBAC & BBAD & BBCC & BBCD & BBDD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]CC[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
CCAA & CCAB & CCAD & CCBB & CCBD & CCDD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]DD[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
DDAA & DDAB & DDAC & DDBB & DDBC & DDCC
\end{array}[/dispmath] Možemo primetiti da je svaki od slučajeva u kojima se pojavljuju dva para obuhvaćen dvaput:

• slučaj [inlmath]AABB[/inlmath] je obuhvaćen onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]AA[/inlmath], ali je obuhvaćen i onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]BB[/inlmath] (u ovom drugom slučaju je zapisan kao [inlmath]BBAA[/inlmath], ali to je isto kao i [inlmath]AABB[/inlmath]);
• slučaj [inlmath]AACC[/inlmath] je obuhvaćen onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]AA[/inlmath], ali je obuhvaćen i onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]CC[/inlmath] (u ovom drugom slučaju je zapisan kao [inlmath]CCAA[/inlmath], ali to je isto kao i [inlmath]AACC[/inlmath]);
• itd...

Pošto je, dakle, svaki od slučajeva u kojima se pojavljuju dva para obuhvaćen dvaput umesto jednom, da bismo dobili ispravan rezultat neophodno je da oduzmemo broj tih suvišno obuhvaćenih slučajeva, a njihov broj iznosi [inlmath]4\choose 2[/inlmath], tj. [inlmath]6[/inlmath] (u originalnom zadatku iznosi [inlmath]10\choose 2[/inlmath].

Ja bih to uradio ovako,
[inlmath]10\choose 2[/inlmath] - broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela, onda nam kao izbor ostaje još [inlmath]18[/inlmath] cipela, pomnožimo sa [inlmath]18[/inlmath] i imamo broj mogućnosti za tri cipele i onda za četvrtu pomnožimo sa [inlmath]16[/inlmath], sa [inlmath]17[/inlmath] ne možemo jer bi mogli da imamo 2 para istih cipela. Gde grešim?

Dzenan je napisao:[inlmath]10\choose 2[/inlmath] - broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela,

Pa, ne, broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela nije [inlmath]10\choose 2[/inlmath], već [inlmath]10\choose 1[/inlmath], tj. [inlmath]10[/inlmath]. Pošto treba da izvučemo jedan par, tada svaki od parova posmatramo kao jedan element tog skupa. Takvih elemenata ima [inlmath]10[/inlmath], a mi, znači, biramo jedan od njih.

Dzenan je napisao:onda nam kao izbor ostaje još [inlmath]18[/inlmath] cipela, pomnožimo sa [inlmath]18[/inlmath] i imamo broj mogućnosti za tri cipele i onda za četvrtu pomnožimo sa [inlmath]16[/inlmath], sa [inlmath]17[/inlmath] ne možemo jer bi mogli da imamo 2 para istih cipela.

U zadatku je upravo i dozvoljeno da imamo dva para istih cipela. Pošto pitanje u zadatku glasi „Na koliko nacina mozemo izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da medju izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?“ to znači da se traži da među izabranim cipelama bude ili jedan par, ili dva para.

Ali, svejedno, čak i kad bismo radili po rezonu koji si napisao, uz ove ispravke, tj. kada bismo [inlmath]10[/inlmath] (broj načina da izaberemo jedan par) pomnožili sa [inlmath]18[/inlmath] (broj načina da izaberemo treću cipelu od bilo kojih preostalih), pa to opet pomnožili sa [inlmath]17[/inlmath] (broj načina da izaberemo četvrtu cipelu od bilo kojih preostalih) – neke od mogućnosti izbora bismo time obuhvatili više puta. Npr. ako bismo pretpostavili da je prvi izvučeni par cipela [inlmath]8L[/inlmath] i [inlmath]8R[/inlmath] (sufiksi [inlmath]L[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] označavaju levu i desnu), tada bi jedna od mogućnosti izbora treće bio [inlmath]4L[/inlmath], a četvrte [inlmath]9L[/inlmath], pa bi to bio izbor [inlmath]8L\:8R\:4L\:9L[/inlmath]. Međutim, pri takvom izboru prvog para ([inlmath]8L\:8R[/inlmath]) postojala bi i mogućnost da izbor treće bude [inlmath]9L[/inlmath], a ispod četvrte [inlmath]4L[/inlmath], pa bi to bio izbor [inlmath]8L\:8R\:9L\:4L[/inlmath], što bi bilo identično prethodnom slučaju. Znači, na ovaj način koji si predložio, za svaki izabrani par cipela, svaku od mogućnosti izbora preostale dve cipele računali bismo dvaput. Zato bi, umesto [inlmath]10\cdot 18\cdot 17[/inlmath] trebalo pisati [inlmath]10\cdot{18\choose 2}[/inlmath], jer od preostalih [inlmath]18[/inlmath] cipela biramo bilo koje dve, pri čemu nije bitan redosled njihovog odabira – kombinacije bez ponavljanja. Ali, i na ovaj način bismo dvaput računali svaki od slučajeva u kojem se u izboru pojavljuju dva para (što sam upravo i obrazložio u svom prethodnom postu). Zbog toga od ovako dobijenog broja treba još oduzeti broj slučajeva u kojima se pojavljuju dva para, a broj takvih slučajeva je [inlmath]10\choose 2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]10\cdot{18\choose 2}-{10\choose 2}[/inlmath]. Što se upravo i svodi na ono rešenje koje sam pokazao u ovom postu.

(Kako ne bi bilo zabune, u svom prethodnom postu sam, radi jednostavnosti, i levu i desnu cipelu istog para tretirao kao jednake elemente – iako to u ovom zadatku ne bi trebalo tako da se radi – jer mi je bilo bitno samo da objasnim udvajanje slučajeva s dva izabrana para.)

U ormanu se nalazi [inlmath]12[/inlmath] pari cipela. Na koliko načina možeš izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da među izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

Rješenje: Prvi slučaj je da uzmem od [inlmath]12[/inlmath] pari cipela [inlmath]2[/inlmath] para cipela tj.
[dispmath]12\choose2[/dispmath] Drugi slučaj je da uzmem jedan par od [inlmath]12[/inlmath] pa da od preostalih uzmem jedan par. E sad mene tu buni zašto se piše ovako
[dispmath]{12\choose1}\cdot{11\choose2}\cdot2^2[/dispmath] Na kraju je ukupan broj načina zbir ova dva slučaja ali meni nije jasan drugi slučaj.
Zbog čega je ovo na kraju [dispmath]2^2[/dispmath]

Činilac [inlmath]2^2[/inlmath] potiče od toga što se dve cipele unutar svakog para međusobno razlikuju (jedna je leva, a druga je desna, je li).

Dakle, prvo odabiramo dve iz istog para tako što odaberemo taj jedan od ukupno [inlmath]12[/inlmath] parova, što možemo učiniti na [inlmath]12\choose1[/inlmath] načina. To je, pretpostavljam, jasno.

Zatim preostale dve odabiramo tako da obe budu iz različitih parova. Dakle, prvo od preostalih [inlmath]11[/inlmath] parova odaberemo [inlmath]2[/inlmath] para ([inlmath]11\choose2[/inlmath] mogućnosti), zatim iz jednog od ta dva odabrana para biramo ili levu ili desnu ([inlmath]2[/inlmath] mogućnosti) i iz drugog od ta dva para opet biramo ili levu ili desnu (takođe [inlmath]2[/inlmath] mogućnosti). Otuda taj činilac [inlmath]2^2[/inlmath].

Pogledaj i ovu temu, tu smo radili vrlo sličan zadatak na mnoštvo drugih načina (ali ne i na ovaj). Pošto su zadaci gotovo identični (s jedinom razlikom što tamo imamo [inlmath]10[/inlmath] parova a ovde [inlmath]12[/inlmath]), spojiću kasnije ove dve teme.
EDIT: Spojio.

Zadatak je dosta dobar pa bih predložio težu verziju. U tom istom ormaru se nalazi deset pari cipela ([inlmath]10[/inlmath] levih I [inlmath]10[/inlmath] desnih). Neko je nasumično uzeo [inlmath]8[/inlmath] cipela. Koliko ima načina da kompletira tačno:
a) nula parova
b) jedan par
c) dva para
d) tri para
e) četiri para