od ubavic » Ponedeljak, 31. Oktobar 2022, 00:32
Ovde može malo drugačije da se odradi.
Da bi broj [inlmath]x[/inlmath] bio deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] potrebno je i dovoljno da bude deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath].
Dokažimo da je dati broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]: broj [inlmath]22[/inlmath] je paran, pa je i [inlmath]22^{22}[/inlmath] paran. Broj [inlmath]77[/inlmath] je neparan, pa je i [inlmath]77^{100}[/inlmath] neparan, i slično zaključujemo da je i [inlmath]55^{55}[/inlmath] neparan. Kako je broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] zbir jednog parnog i dva neparna, sledi da je paran odnosno deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].
Slično postupamo i kod deljivosti sa [inlmath]5[/inlmath], jedino što sada gledamo ostatke pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath]. Ostatak pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] broja [inlmath]22[/inlmath] je naravno [inlmath]2[/inlmath]. Dalje možemo da utvrdimo da su ostaci brojeva [inlmath]22^2[/inlmath], [inlmath]22^3[/inlmath], [inlmath]22^4[/inlmath], [inlmath]22^5[/inlmath], [inlmath]22^6[/inlmath], [inlmath]22^7[/inlmath],... redom [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath],... Dakle imamo ciklus od četiri člana. Odatle se može odrediti da je ostatak pri deljenju broja [inlmath]22^{22}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]4[/inlmath]. (ovo je zapravo isto kao određivanje poslednje cifre u bazi sa osnovom [inlmath]5[/inlmath], što je prikazano i u prethodnim odgovorima). I slično određujemo da je ostatak pri deljenu broja [inlmath]77^{100}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]55^{55}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]0[/inlmath] (ovo je i očigledno). Dakle broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] ima ostatak [inlmath]4 + 1 -0 \equiv_5 0[/inlmath]
Vidimo da je ovaj postupak sličan onome što je Fare predložio. Rekao bih da je blaga prednost to što se može lakše računati kad se brojevi uvećaju. Naravno, ovo može sve elegantnije ako se zna račun sa modulima.