Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazivanje deljivosti brojem 10

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod DarkoPatic » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:08

Ja bih zamolio za pomoć oko rešavanja ovakvog zadatka:

Dokazati da je [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] deljivo sa [inlmath]10[/inlmath].


Ova lekcija je od ove godine uvedena kao deljivost brojeva u prvom razredu srednje škole i ima poseban način kako se radi. Prvo se rastavljaju stepeni i radi se preko neke formule gde se malo [inlmath]n[/inlmath] izbacuje ispred zagrade pa se onda rešava zadatak. Naravno znam da je uslov da broj bude deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] da ima na kraju nulu. Nisam nikada slično rešavao pa bih zamolio neko ovo da mi pomogne kako se pravilno radi zadatak. Nije matematička indukcija i ne sme da se radi kao lekcija matematičke indukcije iz treće godine nego jednostavnije nešto sa [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] pa bih zamolio neko da mi pomogne ako može.
 
Postovi: 62
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod Fare » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:23

Posmatraj samo poslednju cifru brojeva [inlmath]22^1,22^2,22^3,22^4,22^5,\ldots[/inlmath] Probaj da uočiš neku pravilnost.
Slično i kod ostala dva sabirka.
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 94 puta

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod DarkoPatic » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:41

Hvala na brzom odgovoru. Da, razmišljao sam da rastavim kako [inlmath]22^1[/inlmath] ili slično pa puta [inlmath]10[/inlmath] na neki stepen pa tako svaki broj ali ne znam da li tako može i da li je pravilno? Time bi dobio dokaz da je svaki broj pomnožen sa brojem [inlmath]10[/inlmath] na neki stepen u stvari deljiv sa [inlmath]10[/inlmath]. Da li je to pravilno?
 
Postovi: 62
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +2

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod Fare » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:56

Ne. Kada treba da odrediš poslednju cifru proizvoda dva broja bitne su samo poslednje cifre ta dva broja.
[inlmath]22^2[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]4[/inlmath], jer je [inlmath]2\cdot2=4[/inlmath]
[inlmath]22^3[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]8[/inlmath], jer je [inlmath]4\cdot2=8[/inlmath]
[inlmath]22^4[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]6[/inlmath], jer je [inlmath]8\cdot2=16[/inlmath]
[inlmath]22^5[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]2[/inlmath], jer je [inlmath]6\cdot2=12[/inlmath]
[inlmath]\cdots[/inlmath]
[inlmath]22^{22}[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]4[/inlmath].
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 94 puta

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod DarkoPatic » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 19:49

Poslednja cifra za [inlmath]77^{100}[/inlmath] je broj [inlmath]7[/inlmath] a za [inlmath]55[/inlmath] na bilo koji stepen je poslednja cifra broj [inlmath]5[/inlmath]. Kada znam sve poslednje cifre, kako dobijam onda nulu na kraju da bi bilo deljivo sa [inlmath]10[/inlmath]? Nije mi to baš najjasnije jer da bi bio broj deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] na kraju mora da ima nulu.
 
Postovi: 62
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +2

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod Fare » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 20:15

[inlmath]77^0=1[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath]
[inlmath]77^1=77[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]7[/inlmath]
[inlmath]77^2[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]9[/inlmath]
[inlmath]77^3[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]3[/inlmath]
[inlmath]77^4[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath]
I sada, dolazi do ponavljanja poslednje cifre. Nastavljajući ovaj postupak, vidi se da istu poslednju cifru imaju [inlmath]77^0,77^4,77^8,\cdots,77^{100}[/inlmath], a to je [inlmath]1[/inlmath].
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 94 puta

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod DarkoPatic » Nedelja, 30. Oktobar 2022, 20:25

Jeste, u pravu si. Nisam brojao [inlmath]77[/inlmath] na nulti stepen. Sve je jasno. Hvala puno ;)
 
Postovi: 62
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod ubavic » Ponedeljak, 31. Oktobar 2022, 00:32

Ovde može malo drugačije da se odradi.

Da bi broj [inlmath]x[/inlmath] bio deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] potrebno je i dovoljno da bude deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath].

Dokažimo da je dati broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]: broj [inlmath]22[/inlmath] je paran, pa je i [inlmath]22^{22}[/inlmath] paran. Broj [inlmath]77[/inlmath] je neparan, pa je i [inlmath]77^{100}[/inlmath] neparan, i slično zaključujemo da je i [inlmath]55^{55}[/inlmath] neparan. Kako je broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] zbir jednog parnog i dva neparna, sledi da je paran odnosno deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].

Slično postupamo i kod deljivosti sa [inlmath]5[/inlmath], jedino što sada gledamo ostatke pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath]. Ostatak pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] broja [inlmath]22[/inlmath] je naravno [inlmath]2[/inlmath]. Dalje možemo da utvrdimo da su ostaci brojeva [inlmath]22^2[/inlmath], [inlmath]22^3[/inlmath], [inlmath]22^4[/inlmath], [inlmath]22^5[/inlmath], [inlmath]22^6[/inlmath], [inlmath]22^7[/inlmath],... redom [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath],... Dakle imamo ciklus od četiri člana. Odatle se može odrediti da je ostatak pri deljenju broja [inlmath]22^{22}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]4[/inlmath]. (ovo je zapravo isto kao određivanje poslednje cifre u bazi sa osnovom [inlmath]5[/inlmath], što je prikazano i u prethodnim odgovorima). I slično određujemo da je ostatak pri deljenu broja [inlmath]77^{100}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]55^{55}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]0[/inlmath] (ovo je i očigledno). Dakle broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] ima ostatak [inlmath]4 + 1 -0 \equiv_5 0[/inlmath]

Vidimo da je ovaj postupak sličan onome što je Fare predložio. Rekao bih da je blaga prednost to što se može lakše računati kad se brojevi uvećaju. Naravno, ovo može sve elegantnije ako se zna račun sa modulima.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 604
Zahvalio se: 381 puta
Pohvaljen: 613 puta

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

Postod DarkoPatic » Ponedeljak, 31. Oktobar 2022, 10:26

Hvala puno svima. Da, kao što je Ubavić predložio može i tako mada sam uradio na način kao što je Fare predložio. Ovo je tek od ove godine uvedeno kao obavezna lekcija za prvi razred srednje škole pa me je zadatak malo iznenadio jer se ovakve i slične lekcije rade na drugačiji način tek u trećem razredu srednje škole.
 
Postovi: 62
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 06. Februar 2023, 01:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs