Prijemni ispit ETF – 28. jun 2021.
17. zadatak

Dobar dan. Da li neko može da mi pomogne oko ovog zadatka?

Dvocifreni broj koji je jednak proizvodu zbira svojih cifara i apsolutne vrednosti razlike pripada intervalu:
[inlmath](A)\;[10,30]\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;[31,50]\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;[51,70]\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;[71,80]\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;[81,99][/inlmath]

Pozdrav. Uputio bih te da pročitaš Pravilnik foruma, konkretno tačku 6. koja je jedna od najbitnijih (naziv teme sam korigovao, u skladu s tačkom 9.)

Umeš li, za početak, da postaviš jednačinu?

Moja greška!
Dakle za neki dvocifreni broj [inlmath]xy[/inlmath], treba da važi:
[dispmath]10x+y=(x+y)\cdot|x-y|[/dispmath] Ovu apsolutnu vrednost sada razdvojim na 2 slučaja:
[dispmath]10x+y=(x+y)\cdot(x-y),\quad\text{za }x>y\\
10x+y=x^2-y^2[/dispmath] i
[dispmath]10x+y=(x+y)\cdot(y-x),\quad\text{za }x<y\\
10x+y=y^2-x^2[/dispmath] Kada saberem ove dve jednačine, dobijem:
[dispmath]20x+2y=0[/dispmath] Tu već ne vidim pravac u kome bih trebao da vodim ovaj zadatak, pa ako neko možda zna, bio bih zahvalan.

Sve si ispravno radio do trenutka kada si sabrao ove dve jednačine. Ali, pošto jedna jednačina važi za jedan slučaj a druga važi za drugi slučaj, to znači da ne mogu obe važiti istovremeno, pa samim tim ne smeju se ni sabirati. Umesto toga, mora se posebno raditi za jedan, a posebno za drugi slučaj.

Npr. za slučaj [inlmath]x>y[/inlmath] posmatramo kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath] (možemo i kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath], potpuno svejedno, al' nek bude po [inlmath]x[/inlmath]):
[dispmath]x^2-10x-\left(y^2+y\right)=0[/dispmath] Njena rešenja po [inlmath]x[/inlmath] biće
[dispmath]x_{1,2}=5\pm\sqrt{y^2+y+25}[/dispmath] Za ovaj slučaj odmah vidimo da nema rešenja, jer je potkorena veličina veća ili jednaka [inlmath]25[/inlmath], pa je jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath] negativno ili nula, a drugo bi bilo veće ili jednako [inlmath]10[/inlmath], što ne odgovara uslovu da [inlmath]x[/inlmath] mora biti prirodan broj od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath].

Slično se radi za slučaj [inlmath]x<y[/inlmath], pri čemu se uoči da potkorena veličina mora biti potpun kvadrat kako rešenja po [inlmath]x[/inlmath] ne bi bila iracionalna.

Jel moze nastavak ovog zadatka, i ja sam stao kod jednacine, al ne vidim sta dalje treba da radim.

Za slučaj [inlmath]x<y[/inlmath], imamo dakle jednačinu [inlmath]10x+y=y^2-x^2[/inlmath]. Napišemo je kao [inlmath]x^2+10x=y^2-y[/inlmath] tj. kao [inlmath]x(x+10)=y(y-1)[/inlmath]. Pa sad idemo sistemom eliminacije. Na desnoj strani imamo proizvod dva uzastopna cela broja, od kojih je jedan sigurno paran, pa samim tim i njihov proizvod mora biti paran. Pošto je parna desna strana, mora biti i leva, a to će biti slučaj samo ako je [inlmath]x[/inlmath] parno. Time smo suzili skup mogućih vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]. Posmatrajmo zatim koliku maksimalnu vrednost može imati desna (a samim tim i leva) strana. Maksimalnu vrednost desna strana dostiže za [inlmath]y=9[/inlmath], i ta vrednost će biti [inlmath]9\cdot8=72[/inlmath]. Već za [inlmath]x=5[/inlmath] leva strana će biti jednaka [inlmath]5\cdot15=75[/inlmath], što je izvan mogućeg opsega. Prema tome, skup mogućih vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] sveden je na [inlmath]\{2,4\}[/inlmath]. Preostaje da ispitaš svaki od ta dva slučaja...