Odrediti ostatak broja [inlmath](1001!\cdot994!)^{19961}[/inlmath] po modulu [inlmath]1997[/inlmath] ako znamo da je [inlmath]1997[/inlmath] prost broj.

[dispmath]x\equiv(1001!\cdot994!)^{19961}\pmod{1997}[/dispmath] Vilsonova teorema: Ako je [inlmath]p[/inlmath] prost, onda važi:
[inlmath](p-1)!\equiv-1\pmod p[/inlmath]
Što je ekvivalentno sa [inlmath](p-2)!\equiv1\pmod p[/inlmath]

Pošto je još u postavci napomenuto da je [inlmath]1997[/inlmath] prost broj, možemo koristiti Vilsona.
[inlmath]p=1997[/inlmath]

Ne znam šta dalje da radim odavde. Probao sam da ga rastavim ali bezuspešno.

[inlmath](1001!\cdot 994!)=(994!)^2\cdot995\cdot996\cdots1001[/inlmath]
[inlmath](1995!)=1001!\cdot1002\cdot1003\cdots1995[/inlmath] (tačno [inlmath]994[/inlmath] elementa posle [inlmath]1001![/inlmath])

Iskoristi poslednju jednakost [inlmath](1995!) = 1001! \cdot 1002\cdot 1003\cdots1995[/inlmath] i odgovarajuću kongruenciju, a onda primeni formulu [dispmath]n \equiv p -(p-n)\pmod p.[/dispmath]U formulu umesto [inlmath]n[/inlmath] zameni brojeve [inlmath]1002, 1003, ...[/inlmath] i pomnoži dobijene kongruencije ....

Iako Danilo nije tražio dodatna objašnjenja uputstva kako rešavati zadatak, verovatno je rešio zadatak. Međutim, pošto je zadatak interesantan ( a to uputstvo je možda nepotpuno ), prilažem rešenje.
Krenimo od kongruencije [dispmath]n \equiv p -(p-n)\pmod p.[/dispmath] Ostatak pri deljenju broja [inlmath]p -(p-n)[/inlmath] sa [inlmath]p[/inlmath], jeste broj [inlmath]-(p-n)[/inlmath], odnosno [dispmath]p -(p-n) \equiv -(p-n)\pmod p,[/dispmath] pa je zbog tranzitivnosti relacije kongruencije [dispmath]n \equiv -(p-n)\pmod p.[/dispmath] U ovu formulu, pošto je [inlmath]p=1997[/inlmath], redom uvrstimo brojeve [inlmath]1002, 1003,\cdots,1995,[/inlmath] pa imamo [inlmath]994[/inlmath] kongruencije:
[dispmath]1002 \equiv -995\pmod {1997},[/dispmath] [dispmath]1003 \equiv -994\pmod {1997},[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath] [dispmath]1995 \equiv -2\pmod {1997}.[/dispmath] Ako pomnožimo ove relacije dobijamo sledeću kongruenciju [dispmath]1002\cdot1003\cdots1995 \equiv (-1)^{994}\cdot 995! \pmod {1997}.[/dispmath] Množenjem ove relacije sa kongruencijom [inlmath]1001! \equiv 1001!\pmod {1997}[/inlmath], dobijamo relaciju [dispmath]1001! \cdot1002\cdot1003\cdots1995 \equiv 1001! \cdot 995! \pmod {1997} \iff 1995! \equiv 1001! \cdot 995! \pmod {1997}.[/dispmath] Pošto je, i Danilo je istakao tu posledicu Vilsonove teoreme, [inlmath]1995! \equiv 1\pmod {1997}[/inlmath], sledi da je [dispmath]1001! \cdot 995! \equiv 1\pmod {1997}.[/dispmath] Neka je [dispmath]1001! \cdot 994! \equiv y\pmod {1997}.[/dispmath] Ako ovu kongruenciju pomnožimo brojem [inlmath]995[/inlmath], imamo relaciju [dispmath]1001! \cdot 994! \cdot 995 \equiv 995 \cdot y \pmod {1997}.[/dispmath] odnosno, zbog tranzitivnosti kongruencije, [dispmath]995 \cdot y \equiv 1\pmod {1997}.[/dispmath] Rešenje ove linearne kongruencije je [inlmath]y=285[/inlmath], pa sledi da je [dispmath]1001! \cdot 994! \equiv 285\pmod {1997} \Rightarrow (1001! \cdot 994!)^{19961} \equiv 285^{19961}\pmod {1997}.[/dispmath] Pošto je [inlmath]1997[/inlmath] prost broj, primenimo Fermaovu teoremu ( posledicu Ojlerove teoreme ), pa dobijamo da je [dispmath]285^{1997-1} \equiv 1\pmod {1997} \Rightarrow 285^{19961}=285^{1996 \cdot 10} \cdot 285^1 \equiv 1^{10} \cdot 285\pmod {1997}.[/dispmath] Dakle, traženi ostatak je broj [inlmath]285[/inlmath], odnosno [dispmath](1001!\cdot994!)^{19961}\equiv 285\pmod{1997}.[/dispmath]