MATEMANIJA

Nadam se da sam ubo odgovarajuci forum.
Elem, imam neka dva zadacica, a bas nikakvu ideju (jer, teorija brojeva i ja ne govorimo odavno ). Tako da, neke pocetne naznake za resavanje su dobrodosle.

---

[inlmath]1)[/inlmath] Broj [inlmath]1993![/inlmath] se zavrsava sa [inlmath]N[/inlmath] nula, gde je [inlmath]N[/inlmath] jednako?
[inlmath]2)[/inlmath] Svih parova uzajamno prostih brojava [inlmath]x,y[/inlmath] ciji je proizvod jednak [inlmath]1331000[/inlmath] ima?

Temu sam razdvojio na dve – za [inlmath]1.[/inlmath] zadatak odgovor ovde.

Da li bi, za početak, umeo da zadati broj [inlmath]1331000[/inlmath] razložiš na proste činioce?
Hajde prvo to da vidimo (razlaganje na proste činioce je i inače vrlo često pola obavljenog posla kod zadataka iz teorije brojeva), pa zatim idemo dalje.

Broj [inlmath]1331000[/inlmath] razlozen na proste cinioce izgledao bi ovako:
[dispmath]1331000=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\cdot11\cdot11\cdot11=2^3\cdot5^3\cdot11^3[/dispmath]

E, dobro. Sad, kaže, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti uzajamno prosti. To znači da ne smeju imati zajedničke činioce veće od [inlmath]1[/inlmath]. Dakle, ako broj [inlmath]x[/inlmath] sadrži činilac [inlmath]2[/inlmath], tada [inlmath]y[/inlmath] ne sme sadržati [inlmath]2[/inlmath] i obratno. Isto važi i za činioce [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]11[/inlmath].
Da li, nakon ovoga, imaš možda ideju kako doći do odgovora?

Jedino sto mogu zakljuciti je da brojevi [inlmath]2^3[/inlmath], [inlmath]5^3[/inlmath] i [inlmath]11^3[/inlmath] nemaju zajednicke cinioce vece od [inlmath]1[/inlmath]. Ali, sta s tim?

Dakle, [inlmath]x\cdot y=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\cdot11\cdot11\cdot11[/inlmath].
Sad posmatramo na koliko načina možemo sve te proste činioce raspodeliti između brojeva [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tako da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] nemaju zajedničke činioce.

Na primer,

[inlmath]\left.\begin{array}{l}
x=2\cdot2\cdot2\cdot11\cdot11\\
y=5\cdot5\cdot5\cdot11
\end{array}\right\}[/inlmath] – ne valja, jer tada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] imaju [inlmath]11[/inlmath] kao zajednički činilac;

[inlmath]\left.\begin{array}{l}
x=2\cdot2\cdot11\\
y=2\cdot5\cdot5\cdot5\cdot11\cdot11
\end{array}\right\}[/inlmath] – ne valja, jer tada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] imaju [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]11[/inlmath] kao zajedničke činioce;

[inlmath]\left.\begin{array}{l}
x=5\cdot5\cdot5\cdot11\cdot11\cdot11\\
y=2\cdot2\cdot2
\end{array}\right\}[/inlmath] – ovo je u redu, jer tada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] nemaju zajedničke činioce (uzajamno su prosti).

Dakle, koliko ukupno postoji slučajeva u kojima [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] nemaju zajedničke činioce (što znači da su uzajamno prosti)?

Pa ako se vodim ovom logikom, da ih rasporedjujem ovako - onda [inlmath]6[/inlmath]. A uzajamno prosti su ako nemaju zajednickog delioca veceg od [inlmath]1[/inlmath], sto u trecem slucaju vazi.

Pretpostavljam da se u zadatku traži broj uređenih parova [inlmath]\left(x,y\right)[/inlmath]. Uređenih znači da je bitan redosled, tj. koju vrednost ima [inlmath]x[/inlmath], a koju vrednost [inlmath]y[/inlmath]. Drugim rečima da, na primer, [inlmath]\left(x,y\right)=\left(2^311^3,\;5^3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(5^3,\;2^311^3\right)[/inlmath] predstavljaju dve različite mogućnosti.

U tom slučaju, tačno rešenje je [inlmath]8[/inlmath]. Verovatno si prevideo mogućnosti [inlmath]\left(x,y\right)=\left(1,\;2^35^311^3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(2^35^311^3,\;1\right)[/inlmath].

Da, tacno resenje je [inlmath]8[/inlmath] uredjenih parova [inlmath](x,y)[/inlmath]. Ovaj nije tezak, ukapirao sam. Ali onaj prvi je haos.