Pozdrav, zadatak je sa republickog takmicenja za treci razred od prosle godine i resenja nisu jos objavljena. Ja sam resio na jedan nacin ali posto je u pitanju dokazivanje voleo bih da mi neko strucniji kaze da li je ovaj moj dokaz validan (tj da li bi mi priznali resenje) i ako imate neki brzi ili tacniji dokaz.
Zadatak glasi:
Dokazati da je za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n\geq3[/inlmath], cifra desetica broja [inlmath]3^n[/inlmath] parna.
Moj dokaz:
Broj [inlmath]3^n[/inlmath] pripada skupu brojeva [inlmath]\{27,81,243,\ldots\}[/inlmath]. Skup krece od [inlmath]17[/inlmath] i svaki sledeci clan je [inlmath]3[/inlmath] puta veci od prethodnog. Posmatramo samo desetice pomnozene sa [inlmath]3[/inlmath]. Kod [inlmath]27[/inlmath] cifra desetica je parna, sledeci clan je [inlmath]{\color{red}60}+21=81[/inlmath]. Sledeci je [inlmath]81\cdot3=2{\color{red}40}+3=243[/inlmath], i svaka sledeca desetica pomnozena sa [inlmath]3[/inlmath] je parna pa daje oblik [inlmath]20k[/inlmath]. Dvocifreni zavrsetak naseg broja ima oblik [inlmath]20k + 3m[/inlmath] gde je [inlmath]m[/inlmath] cifra jedinica. Posto se stepeni trojke zavrsavaju na neki od brojeva [inlmath]3,7,9,1[/inlmath], dvocifreni zavrsetak moze imati neki od oblika:
[dispmath]20k+9[/dispmath][dispmath]20k+21[/dispmath][dispmath]20k+27[/dispmath][dispmath]20k+3[/dispmath] odakle je jasno da je cifra desetica uvek parna.