Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazivanje parnosti cifre desetica

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Dokazivanje parnosti cifre desetica

Postod Obi » Sreda, 25. Decembar 2019, 01:17

Pozdrav, zadatak je sa republickog takmicenja za treci razred od prosle godine i resenja nisu jos objavljena. Ja sam resio na jedan nacin ali posto je u pitanju dokazivanje voleo bih da mi neko strucniji kaze da li je ovaj moj dokaz validan (tj da li bi mi priznali resenje) i ako imate neki brzi ili tacniji dokaz.

Zadatak glasi:

Dokazati da je za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], [inlmath]n\geq3[/inlmath], cifra desetica broja [inlmath]3^n[/inlmath] parna.

Moj dokaz:

Broj [inlmath]3^n[/inlmath] pripada skupu brojeva [inlmath]\{27,81,243,\ldots\}[/inlmath]. Skup krece od [inlmath]17[/inlmath] i svaki sledeci clan je [inlmath]3[/inlmath] puta veci od prethodnog. Posmatramo samo desetice pomnozene sa [inlmath]3[/inlmath]. Kod [inlmath]27[/inlmath] cifra desetica je parna, sledeci clan je [inlmath]{\color{red}60}+21=81[/inlmath]. Sledeci je [inlmath]81\cdot3=2{\color{red}40}+3=243[/inlmath], i svaka sledeca desetica pomnozena sa [inlmath]3[/inlmath] je parna pa daje oblik [inlmath]20k[/inlmath]. Dvocifreni zavrsetak naseg broja ima oblik [inlmath]20k + 3m[/inlmath] gde je [inlmath]m[/inlmath] cifra jedinica. Posto se stepeni trojke zavrsavaju na neki od brojeva [inlmath]3,7,9,1[/inlmath], dvocifreni zavrsetak moze imati neki od oblika:
[dispmath]20k+9[/dispmath][dispmath]20k+21[/dispmath][dispmath]20k+27[/dispmath][dispmath]20k+3[/dispmath] odakle je jasno da je cifra desetica uvek parna.
Obi  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazivanje parnosti cifre desetica

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Decembar 2019, 22:45

Osnovna ideja je u redu, razmatraju se ta četiri slučaja cifre jedinica. Inače, taj postupak u osnovi predstavlja matematičku indukciju, i ne vidim drugi način na koji bi to bilo moguće uraditi. Zato bi bilo preciznije i preglednije da se podeli na indukcijske korake:
  1. Baza indukcije [inlmath]n=3[/inlmath]: Prvi broj u nizu je [inlmath]3^3=27[/inlmath], cifra desetica je parna.
  2. Indukcijska pretpostavka: Broj [inlmath]3^k[/inlmath] ima parnu cifru desetica.
  3. Indukcijski korak: Ako broj [inlmath]3^k[/inlmath] ima parnu cifru desetica, tada i broj [inlmath]3^{k+1}[/inlmath] ima parnu cifru desetica.
    Dokaz: Lako se pokazuje da se u geometrijskom nizu [inlmath]3^n[/inlmath] cifre jedinica ciklično smenjuju i mogu biti [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath]. Za svaki od ta četiri slučaja treba dokazati da, ako je cifra desetica parna, tada će i cifra desetica narednog člana geometrijskog niza, tj. tri puta većeg broja, takođe biti parna.
    Za slučaj da je cifra jedinica jednaka [inlmath]7[/inlmath], broj je oblika [inlmath]100p+10q+7[/inlmath], gde je [inlmath]q[/inlmath] cifra desetica ([inlmath]p,q\in\mathbb{N_0}[/inlmath]). Tada je sledeći član niza jednak tri puta većem broju, tj. jednak je [inlmath]300p+30q+21=300p+10(3q+2)+1[/inlmath], gde je [inlmath]3q+2[/inlmath] cifra desetica tog novog broja. Odatle sledi da, ako je cifra desetica prvobitnog broja bila parna (tj. [inlmath]q[/inlmath] parno), tada je i cifra desetica novog broja, koja iznosi [inlmath]3q+2[/inlmath], takođe parna.
    Sasvim analogno se dokazuje i za preostala tri slučaja.
I, samo da dopunim info o izvoru zadatka – Državno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola, 16. mart 2019, treći razred – B kategorija, 5. zadatak.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 28 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs