Pozdrav. Treba mi pomoć oko jednog zadatka:
Odrediti sve prirodne brojeve [inlmath]a,b,c[/inlmath] takve da važi
[dispmath]2001^a+15^b=2016^c[/dispmath]
Rešenje:
Pretpostaviti da prirodni brojevi [inlmath]a,b,c[/inlmath] zadovoljavaju datu jednačinu.
Kako je:
[inlmath]2001^a\equiv1^a\equiv1\pmod4\\
15^b\equiv(-1)^b\pmod4\\
2016^c\equiv0\pmod4[/inlmath]
to broj [inlmath]b[/inlmath] mora biti neparan
Slično, iz:
[inlmath]2001^a\equiv(-1)^a\pmod7\\
15^b\equiv1^b\pmod7\\
2016^c\equiv0\pmod7[/inlmath]
sledi da broj [inlmath]a[/inlmath] mora biti neparan.
Kako su [inlmath]3^a[/inlmath], [inlmath]3^b[/inlmath] i [inlmath]3^{2c}[/inlmath] najveći stepeni trojke koji redom, dele brojeve [inlmath]2001^a[/inlmath], [inlmath]15^b[/inlmath] i [inlmath]2016^c[/inlmath], najmanja dva među njima moraju biti jednaki (eventualno, mogu sva tri da budu jednaka). Kako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] neparni, ne može da važi [inlmath]a=2c[/inlmath] ni [inlmath]b=2c[/inlmath], pa je [inlmath]a=b[/inlmath] i, pri tome, [inlmath]a=b<2c[/inlmath].
Ako ovo uvrstimo u datu jednačinu, dobijamo
[dispmath]2001^a+15^a=2016^c[/dispmath] Posmatrajući jednačinu po modulu [inlmath]13[/inlmath] dobijamo da mora biti [inlmath]a=12k+1[/inlmath]. Zatim, posmatrajući tu jednacinu po modulu [inlmath]9[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]c=6k+1[/inlmath]. Posle skraćivanja dobija se
[dispmath]667^a+5^a=672\cdot224^a[/dispmath] Njeno jedino rešenje je [inlmath]a=1[/inlmath], jer je za [inlmath]a>1[/inlmath] očigledno [inlmath]672\cdot224^a<667^a<667^a+5^a[/inlmath]
Jedino rešenje date jednačine je [inlmath]a=b=c=1[/inlmath].
Deo koji mi nije jasan je:
Kako su [inlmath]3^a[/inlmath], [inlmath]3^b[/inlmath] i [inlmath]3^{2c}[/inlmath] najveći stepeni trojke koji redom, dele brojeve [inlmath]2001^a[/inlmath], [inlmath]15^b[/inlmath] i [inlmath]2016^c[/inlmath], najmanja dva među njima moraju biti jednaki.
Odakle ovo sledi?
Hvala unapred.