Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Nelinearna Diofantova jednačina

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Nelinearna Diofantova jednačina

Postod Milana » Nedelja, 05. Januar 2020, 05:05

Pozdrav. Treba mi pomoć oko jednog zadatka:

Odrediti sve prirodne brojeve [inlmath]a,b,c[/inlmath] takve da važi
[dispmath]2001^a+15^b=2016^c[/dispmath]
Rešenje:

Pretpostaviti da prirodni brojevi [inlmath]a,b,c[/inlmath] zadovoljavaju datu jednačinu.

Kako je:
[inlmath]2001^a\equiv1^a\equiv1\pmod4\\
15^b\equiv(-1)^b\pmod4\\
2016^c\equiv0\pmod4[/inlmath]
to broj [inlmath]b[/inlmath] mora biti neparan

Slično, iz:
[inlmath]2001^a\equiv(-1)^a\pmod7\\
15^b\equiv1^b\pmod7\\
2016^c\equiv0\pmod7[/inlmath]
sledi da broj [inlmath]a[/inlmath] mora biti neparan.

Kako su [inlmath]3^a[/inlmath], [inlmath]3^b[/inlmath] i [inlmath]3^{2c}[/inlmath] najveći stepeni trojke koji redom, dele brojeve [inlmath]2001^a[/inlmath], [inlmath]15^b[/inlmath] i [inlmath]2016^c[/inlmath], najmanja dva među njima moraju biti jednaki (eventualno, mogu sva tri da budu jednaka). Kako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] neparni, ne može da važi [inlmath]a=2c[/inlmath] ni [inlmath]b=2c[/inlmath], pa je [inlmath]a=b[/inlmath] i, pri tome, [inlmath]a=b<2c[/inlmath].
Ako ovo uvrstimo u datu jednačinu, dobijamo
[dispmath]2001^a+15^a=2016^c[/dispmath] Posmatrajući jednačinu po modulu [inlmath]13[/inlmath] dobijamo da mora biti [inlmath]a=12k+1[/inlmath]. Zatim, posmatrajući tu jednacinu po modulu [inlmath]9[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]c=6k+1[/inlmath]. Posle skraćivanja dobija se
[dispmath]667^a+5^a=672\cdot224^a[/dispmath] Njeno jedino rešenje je [inlmath]a=1[/inlmath], jer je za [inlmath]a>1[/inlmath] očigledno [inlmath]672\cdot224^a<667^a<667^a+5^a[/inlmath]

Jedino rešenje date jednačine je [inlmath]a=b=c=1[/inlmath].

Deo koji mi nije jasan je:
Kako su [inlmath]3^a[/inlmath], [inlmath]3^b[/inlmath] i [inlmath]3^{2c}[/inlmath] najveći stepeni trojke koji redom, dele brojeve [inlmath]2001^a[/inlmath], [inlmath]15^b[/inlmath] i [inlmath]2016^c[/inlmath], najmanja dva među njima moraju biti jednaki.
Odakle ovo sledi?

Hvala unapred.
Milana  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Nelinearna Diofantova jednačina

Postod Daniel » Nedelja, 05. Januar 2020, 17:21

Pozdrav, hvala na kompletnom postupku za ovaj vrlo zanimljiv zadatak. :thumbup:

Imamo, dakle, sledeću situaciju:
[dispmath]3^xm+3^yn=3^zp[/dispmath] gde su [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] prirodni brojevi koji nisu deljivi sa [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] bilo koji prirodni brojevi (koji mogu biti i nula).

Neka je npr. [inlmath]x=\min(x,y,z)[/inlmath] (isti bi rezon bio i da smo za najmanji pretpostavili neki drugi od ova tri broja). Napišimo prethodnu jednakost kao
[dispmath]3^x\left(m+3^{y-x}n\right)=3^zp[/dispmath] Sada imamo dve mogućnosti:
  • Prva mogućnost je da je [inlmath]x=y[/inlmath];
  • Druga mogućnost je da je [inlmath]x<y[/inlmath]. U tom slučaju, faktor [inlmath]\left(m+3^{y-x}n\right)[/inlmath] na levoj strani nije deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] (jer [inlmath]3^{y-x}[/inlmath] jeste deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] a [inlmath]m[/inlmath] nije), a pošto ni [inlmath]p[/inlmath] na desnoj strani nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], sledi da mora biti [inlmath]3^x=3^z[/inlmath] (kako bi i leva i desna strana imale podjednak broj trojaka kao prostih činilaca), odakle sledi [inlmath]x=z[/inlmath].
Ovime je pokazano da kada je [inlmath]x[/inlmath] najmanji od brojeva [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath], tada mora biti [inlmath]x=y[/inlmath] ili [inlmath]x=z[/inlmath]. Dakle, najmanja dva od ta tri broja moraju biti jednaka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 27 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs