Koji je najveći prirodni broj [inlmath]n[/inlmath] za koji je proizvod [inlmath]1\cdot2\cdot3\cdots2016\cdot2017[/inlmath] deljiv sa [inlmath]7^n[/inlmath]? Resenje je [inlmath]334[/inlmath], a ja sam dobila [inlmath]288[/inlmath]. Poslednji broj koji je deljiv sedmicom je [inlmath]2016[/inlmath]. [inlmath]2016:7=288[/inlmath]. Ne znam kako doći do [inlmath]224[/inlmath]!?

Naslućujem da imaš dobru ideju da ovaj proizvod (koji je u stvari [inlmath]2017![/inlmath]) treba predstaviti kao proizvod prostih činilaca i onda videti koliko se puta pojavljuje broj [inlmath]7[/inlmath]. Ono što si previdela je da će brojevi [inlmath]49,98,147\ldots[/inlmath] u faktorisanju imati po dve sedmice, a brojevi [inlmath]343,686\ldots[/inlmath] po tri.

Pogledaj u ovoj temi kako je na sličan način određen broj petica u faktorijelu "velikog" broja, pa pokušaj da primeniš isti princip ovde. Naravno, ako bude problema, reci.

Mile, sve bi bilo jednostavnije da zadatak ne treba objasniti osnovcu koji konkurise za upis u prvi razred matematicke gimnazije. Drugim recima, kako zadatak "stustiti" na nizi nivo...

[dispmath]\left\lfloor\frac{2017}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{7^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{7^3}\right\rfloor=334[/dispmath]

Pokušaću maksimalno da pojednostavim objašnjenje...

Šta nam predstavlja broj [inlmath]n[/inlmath] u [inlmath]7^n[/inlmath] kao deliocu faktorijela sa početka zadatka? Pokazuje nam koliko se puta broj [inlmath]7[/inlmath] sadrži u faktorijelu. Drugim rečima, ako bismo faktorijel napisali kao proizvod prostih činilaca, u tom proizvodu bi se broj [inlmath]7[/inlmath] pojavio [inlmath]n[/inlmath] puta.

Sada ostaje "samo" da razvijemo faktorijel. Proste brojeve ostavljamo takve kakvi jesu, jedinicu ostavljamo takvu kakva jeste, a složene brojeve pišemo kao proizvod prostih. Na primer, umesto [inlmath]6[/inlmath] pišemo [inlmath]2\cdot3[/inlmath], umesto [inlmath]60[/inlmath] pišemo [inlmath]2\cdot2\cdot3\cdot5[/inlmath], i tako redom. Naravno, nas sada samo zanima gde će se i koliko puta pojaviti broj [inlmath]7[/inlmath]. Prva stvar koju uočavamo je da će se [inlmath]7[/inlmath] kao prost faktor pojaviti kod brojeva [inlmath]7,14,21\ldots[/inlmath], i uopšte kod brojeva oblika [inlmath]k\cdot7[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] prirodan broj; [inlmath]k\le\frac{2017}{7}[/inlmath]. Ovakvih brojeva ima [inlmath]288[/inlmath], kao što si i sama zaključila, a broj [inlmath]k[/inlmath] predstavlja prvi sabirak u primusovom postu.

Idemo dalje, broj [inlmath]49[/inlmath], ćemo pisati kao [inlmath]7\cdot7[/inlmath], broj [inlmath]98[/inlmath] kao [inlmath]2\cdot7\cdot7[/inlmath] i tako redom. Dakle, kod svakog od ovih brojeva, sedmica će se pojaviti dva puta u faktorizaciji. Jednu sedmicu smo već izbrojali kada smo posmatrali faktore broja [inlmath]7[/inlmath], sada brojimo "drugu" sedmicu. Ili, ako je lakše, posmatramo koliko imamo brojeva [inlmath]m\cdot49[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] prirodan broj; [inlmath]m\le\frac{2017}{49}[/inlmath]. Ovakvih brojeva ima [inlmath]41[/inlmath], a [inlmath]m[/inlmath] predstavlja drugi sabirak u primusovom postu.

Na sličan način posmatrajući broj [inlmath]343=7^3[/inlmath] dobijamo da treći sabirak iz primusovog posta iznosi [inlmath]5[/inlmath]. Ovde nam se postupak završava pošto je [inlmath]7^4=2401[/inlmath], a to je veće od [inlmath]2017[/inlmath]. Drugim rečima, nijedan od činilaca faktorijela neće imati četiri sedmice kao faktore. Sad nam ostaje samo da saberemo sva tri sabirka: [inlmath]288+41+5=334[/inlmath].

Nadam se da je sada jasno. Izvinjavam se ako sam malo "udavio" sa pričom, ali nisam siguran koliko detaljno osnovci rade ove stvari. Naravno, ako treba neko dodatno objašnjenje, tu smo.