materminator je napisao:Ono što mi je palo na pamet jeste da će bilo koji broj od ovih cifara biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], s obzirom da je zbir cifara od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]6[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Onda može pitanje iz zadatka da se uprosti za deljivost sa [inlmath]6[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ali ne sa [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] ali ne [inlmath]8[/inlmath].
Pa, ne baš. Čini mi se da si krenuo od pogrešne pretpostavke da, ako je broj istovremeno deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]6[/inlmath], mora biti deljiv sa [inlmath]18[/inlmath]. To ne stoji, jer broj koji je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] automatski je deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath], a nije svaki broj deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] deljiv i sa [inlmath]18[/inlmath].
Eto, recimo, broj [inlmath]123456[/inlmath] (koji je zamislila Ana) jeste deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], ali nije sa [inlmath]18[/inlmath].
Isto i za deljivost sa [inlmath]45[/inlmath] i deljivost sa [inlmath]15[/inlmath] itd.
Ja bih pokazao način na koji je moguće tačno odrediti nepoznati broj (a nakon toga nije problem ispitati i njegovu deljivost).
Kao što je miletrans već primetio,
miletrans je napisao:Pošto su i Ana i Bane pogodili mesta za po tri cifre, a nijednu cifru nisu stavili na isto mesto, to znači da je svaka cifra zamišljenog broja ili Anina ili Banetova.
Pretpostavimo da je na prvom mestu cifra [inlmath]1[/inlmath] kao što je Ana pretpostavila, tj. da je broj oblika [inlmath]1XXXXX[/inlmath]. Pošto bi u tom slučaju cifra [inlmath]1[/inlmath] već bila upotrebljena, za [inlmath]4.[/inlmath] poziciju bi, između Anine cifre [inlmath]4[/inlmath] i Banetove cifre [inlmath]1[/inlmath], preostala cifra [inlmath]4[/inlmath]. To bi značilo da je broj oblika [inlmath]1XX4XX[/inlmath]. Na sličan način rezonujemo da bi na [inlmath]2.[/inlmath] poziciji morala biti cifra [inlmath]2[/inlmath] (jer je cifra [inlmath]4[/inlmath] upotrebljena), pa samim tim cifra [inlmath]2[/inlmath] ne bi mogla biti na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji (koja je ionako već zauzeta).
Pošto smo dobili broj oblika [inlmath]12X4XX[/inlmath], tj. našli smo sve tri cifre koje je pogodila Ana, znamo da je cifre na preostalim pozicijama pogodio Bane, te dolazimo do broja [inlmath]125463[/inlmath]. Međutim, kako bi to značilo da Ceca nijednoj cifri nije pogodila poziciju (što je suprotno uslovu zadatka), početna pretpostavka (da se na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji nalazi cifra [inlmath]1[/inlmath]) – otpada.
Zaključujemo da, pošto cifru na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji nije pogodila Ana, sigurno ju je pogodio Bane – i to je onda cifra [inlmath]2[/inlmath].
Idemo dalje. Pošto smo cifru [inlmath]2[/inlmath] već upotrebili, onda na [inlmath]2.[/inlmath] poziciji ne može biti Anina cifra [inlmath]2[/inlmath], već Banetova cifra [inlmath]4[/inlmath]. Broj je oblika [inlmath]24XXXX[/inlmath].
Pošto smo cifru [inlmath]4[/inlmath] već upotrebili, onda na [inlmath]4.[/inlmath] poziciji ne može biti Anina cifra [inlmath]4[/inlmath], već Banetova cifra [inlmath]1[/inlmath]. Broj je oblika [inlmath]24X1XX[/inlmath].
I, pošto su to sve cifre čije je pozicije pogodio Bane, sad na mesta nepoznatih cifara umećemo one koje je pretpostavila (i pogodila) Ana. Dobijamo time broj [inlmath]243156[/inlmath].
Kad to uporedimo s Cecinim brojem, vidimo da se zaista tačno jednoj cifri poklapa pozicija, što nam je potvrda da ovo jeste traženi broj.