Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Pogađanje šestocifrenog broja – probni prijemni MATF 2018.

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Pogađanje šestocifrenog broja – probni prijemni MATF 2018.

Postod materminator » Nedelja, 14. Jun 2020, 12:56

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
20. zadatak


Imam problem sa sledećim zadatkom:

Ana, Bane i Ceca pogađaju nepoznati šestocifreni broj, znajući da su njegove cifre [inlmath]1,2,3,4,5,6[/inlmath]. Oni daju sledeće prognoze za taj broj:

Ana: [inlmath]123456[/inlmath]
Bane: [inlmath]245163[/inlmath]
Ceca: [inlmath]463215[/inlmath]

Ako se zna da je Ana pogodila mesto za tri cifre, Bane takođe za tri cifre, a Ceca samo za jednu cifru, nepoznati broj deljiv je sa:

[inlmath]A)\;18[/inlmath]
[inlmath]B)\;45[/inlmath]
[inlmath]C)\;15[/inlmath] ali ne [inlmath]45[/inlmath]
[inlmath]D)\;24[/inlmath];
[inlmath]E)\;12[/inlmath] ali ne [inlmath]24[/inlmath];
[inlmath]N)\;[/inlmath]ne znam

Tačan odgovor je pod [inlmath]E[/inlmath]



E sad prilično sam zapeo ovde. Ono što mi je palo na pamet jeste da će bilo koji broj od ovih cifara biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], s obzirom da je zbir cifara od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]6[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Onda može pitanje iz zadatka da se uprosti za deljivost sa [inlmath]6[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ali ne sa [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] ali ne [inlmath]8[/inlmath].
Još mi je palo na pamet to da, posto je Ceca pogodila samo jednu cifru, najmanje su sanse da je poglodila neku cifru koju gledamo. Tako da, posto je [inlmath]5[/inlmath] poslednja cifra Cecinog pokušaja, možda možemo odmah da eliminišemo [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath], pošto bi šanse za deljivost bile najmanje. Pored toga, nisam imao boljih ideja. Ima li neko rešenje ovog zadatka? Prilično je netipičan po mom mišljenju. Hvala unapred!!!
Poslednji put menjao miletrans dana Nedelja, 14. Jun 2020, 15:06, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija LaTex-a - Tačka 13 Pravilnika
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Pogađanje šestocifrenog broja – probni prijemni MATF 2018.

Postod miletrans » Nedelja, 14. Jun 2020, 16:22

Slažem se da je pomalo netipičan zadatak, ja lično volim ovakve stvari. Ja bih ovo radio eliminacijom jednog po jednog odgovora.

Odgovor pod [inlmath]C[/inlmath] ne može da bude tačan, ali ne zbog verovatnoće. Ako bi ovaj odgovor bio tačan, to bi značilo da je zamišljeni broj deljiv sa [inlmath]5[/inlmath], odnosno da je jedina cifra kojoj je Ceca pogodila mesto poslednja cifra. Pošto su i Ana i Bane pogodili mesta za po tri cifre, a nijednu cifru nisu stavili na isto mesto, to znači da je svaka cifra zamišljenog broja ili Anina ili Banetova. Niko od njih nije stavio peticu na kraj, pa zaključujemo da zamišljeni broj nije deljiv sa [inlmath]5[/inlmath] čime otpada odgovor pod [inlmath]C[/inlmath].

Pravilno si zaključio da broj, bez obzira na redosled cifara mora da bude deljiv sa tri. Na isti način zaključujemo da, opet bez obzira na red cifara, zamišljeni broj ne može da bude deljiv sa devet. Na taj način eliminišemo odgovore pod [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath].

Ostaje nam još mogućnost da je broj sigurno deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], a sa [inlmath]8[/inlmath] možda jeste deljiv (tada bi bio tačan odgovor [inlmath]D[/inlmath]), a možda nije (tada bi bio tačan odgovor [inlmath]E[/inlmath]). Već smo videli da svaka cifra mora da bude ili Anina ili Banetova. Pošto je broj deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], on svakako mora da bude paran, iz čega zaključujemo da je poslednja cifra [inlmath]6[/inlmath]. Prelazimo na pretposlednju, šesticu smo već iskoristili, znači pretposlednja cifra mora da bude [inlmath]5[/inlmath]. Kao malu polu-proveru, vidimo da naš broj ima dvocifreni završetak [inlmath]56[/inlmath], što znači da je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Sada gledamo treću cifru sa desne strane. Ako bi ta cifra bila [inlmath]4[/inlmath], znači da bi Ana bila u pravu za sve tri poslednje cifre, pa bi prve tri cifre morale da budu Banetove, što bi opet značilo da nam se cifre [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] dupliraju. Iz toga zaključujemo da je četvrta cifra sleva [inlmath]1[/inlmath], odnosno da je trocifreni završetak broja [inlmath]156[/inlmath], čime otpada odgovor pod [inlmath]D[/inlmath].

Kao mali dodatak, pokušaj (ne bi trebalo da bude teško na osnovu ovih informacija) da zaključiš koji je to šestocifreni zamišljeni broj.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Pogađanje šestocifrenog broja – probni prijemni MATF 2018.

Postod materminator » Nedelja, 14. Jun 2020, 17:23

Jasno mi je rešenje. Nikad se ne bih setio doduše... Stvarno prvi put vidim ovako nešto. Hvala puno!
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Pogađanje šestocifrenog broja – probni prijemni MATF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jun 2020, 19:17

materminator je napisao:Ono što mi je palo na pamet jeste da će bilo koji broj od ovih cifara biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], s obzirom da je zbir cifara od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]6[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Onda može pitanje iz zadatka da se uprosti za deljivost sa [inlmath]6[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ali ne sa [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] ali ne [inlmath]8[/inlmath].

Pa, ne baš. Čini mi se da si krenuo od pogrešne pretpostavke da, ako je broj istovremeno deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]6[/inlmath], mora biti deljiv sa [inlmath]18[/inlmath]. To ne stoji, jer broj koji je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] automatski je deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath], a nije svaki broj deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] deljiv i sa [inlmath]18[/inlmath].
Eto, recimo, broj [inlmath]123456[/inlmath] (koji je zamislila Ana) jeste deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], ali nije sa [inlmath]18[/inlmath].
Isto i za deljivost sa [inlmath]45[/inlmath] i deljivost sa [inlmath]15[/inlmath] itd.



Ja bih pokazao način na koji je moguće tačno odrediti nepoznati broj (a nakon toga nije problem ispitati i njegovu deljivost).
Kao što je miletrans već primetio,
miletrans je napisao:Pošto su i Ana i Bane pogodili mesta za po tri cifre, a nijednu cifru nisu stavili na isto mesto, to znači da je svaka cifra zamišljenog broja ili Anina ili Banetova.

Pretpostavimo da je na prvom mestu cifra [inlmath]1[/inlmath] kao što je Ana pretpostavila, tj. da je broj oblika [inlmath]1XXXXX[/inlmath]. Pošto bi u tom slučaju cifra [inlmath]1[/inlmath] već bila upotrebljena, za [inlmath]4.[/inlmath] poziciju bi, između Anine cifre [inlmath]4[/inlmath] i Banetove cifre [inlmath]1[/inlmath], preostala cifra [inlmath]4[/inlmath]. To bi značilo da je broj oblika [inlmath]1XX4XX[/inlmath]. Na sličan način rezonujemo da bi na [inlmath]2.[/inlmath] poziciji morala biti cifra [inlmath]2[/inlmath] (jer je cifra [inlmath]4[/inlmath] upotrebljena), pa samim tim cifra [inlmath]2[/inlmath] ne bi mogla biti na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji (koja je ionako već zauzeta).
Pošto smo dobili broj oblika [inlmath]12X4XX[/inlmath], tj. našli smo sve tri cifre koje je pogodila Ana, znamo da je cifre na preostalim pozicijama pogodio Bane, te dolazimo do broja [inlmath]125463[/inlmath]. Međutim, kako bi to značilo da Ceca nijednoj cifri nije pogodila poziciju (što je suprotno uslovu zadatka), početna pretpostavka (da se na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji nalazi cifra [inlmath]1[/inlmath]) – otpada.

Zaključujemo da, pošto cifru na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji nije pogodila Ana, sigurno ju je pogodio Bane – i to je onda cifra [inlmath]2[/inlmath].
Idemo dalje. Pošto smo cifru [inlmath]2[/inlmath] već upotrebili, onda na [inlmath]2.[/inlmath] poziciji ne može biti Anina cifra [inlmath]2[/inlmath], već Banetova cifra [inlmath]4[/inlmath]. Broj je oblika [inlmath]24XXXX[/inlmath].
Pošto smo cifru [inlmath]4[/inlmath] već upotrebili, onda na [inlmath]4.[/inlmath] poziciji ne može biti Anina cifra [inlmath]4[/inlmath], već Banetova cifra [inlmath]1[/inlmath]. Broj je oblika [inlmath]24X1XX[/inlmath].
I, pošto su to sve cifre čije je pozicije pogodio Bane, sad na mesta nepoznatih cifara umećemo one koje je pretpostavila (i pogodila) Ana. Dobijamo time broj [inlmath]243156[/inlmath].
Kad to uporedimo s Cecinim brojem, vidimo da se zaista tačno jednoj cifri poklapa pozicija, što nam je potvrda da ovo jeste traženi broj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs