Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
7. zadatak
Najveći zajednički delilac brojeva [inlmath]2020![/inlmath] i [inlmath]2^{2020}[/inlmath] jeste:
Rešenja su:
[inlmath]\text{A)}\;2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B)}\;2^{2016}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C)}\;2020!\cdot2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D)}\;2^{1010}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E)}\;2^{2013}[/inlmath]
Ovako ide moje razmišljanje. [inlmath]2020![/inlmath] je [inlmath]1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdots[/inlmath] Znači da tu ima [inlmath]1010[/inlmath] parnih brojeva (to jest brojeva koji su deljivi sa [inlmath]2[/inlmath]). Ono što možemo da vidimo jeste da ako uzmemo neki parni broj [inlmath]2k[/inlmath] i podelimo ga sa [inlmath]2[/inlmath] dobijamo od koliko se [inlmath]2[/inlmath] on sadrži ([inlmath]\frac{2}{2}=1,\frac{4}{2}=2,\ldots[/inlmath]) Odatle dobijamo aritmetički niz sa korakom [inlmath]1[/inlmath] koji ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]1010[/inlmath]. To je onda
[dispmath]S_{1010}=\frac{1010(1010+1)}{2}[/dispmath][dispmath]S_{1010}=510555[/dispmath] To je dosta veliki broj [inlmath]2[/inlmath], pošto je to mnogo više od [inlmath]2020[/inlmath], da li to onda znači da je rešenje [inlmath]2^{2020}[/inlmath]?