Potpuni kvadrati prirodnih brojeva
Poslato: Četvrtak, 09. Jul 2020, 17:16
Pozdrav! Rešavao sam zadatak (čiji tekst i moje rešenje dajem u nastavku poruke). Moje pitanje se odnosi na to da li je moje rešenje tačno jer nemam rešenje i da li neko ima neku drugu ideju za rešavanje istog zadatka?
Tekst zadatka: Postoje li prirodni brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takvi da su brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] potpuni kvadati prirodnih brojeva?
Moje rešenje: Dokažimo da mora važiti [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Pretpostavimo suprotno. Ukoliko je [inlmath]m^2+n[/inlmath] potpun kvadrat, tada je razlika između kvadrata koji je za [inlmath]x[/inlmath] veći od [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]m^2[/inlmath] jednaka [inlmath]2mx+x^2=n[/inlmath]. Tada broj [inlmath]m+\left(2mx+x^2\right)^2[/inlmath] nije potpun kvadrat. Kontradikcija.
Dakle, [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m+n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.
Tekst zadatka: Postoje li prirodni brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takvi da su brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] potpuni kvadati prirodnih brojeva?
Moje rešenje: Dokažimo da mora važiti [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Pretpostavimo suprotno. Ukoliko je [inlmath]m^2+n[/inlmath] potpun kvadrat, tada je razlika između kvadrata koji je za [inlmath]x[/inlmath] veći od [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]m^2[/inlmath] jednaka [inlmath]2mx+x^2=n[/inlmath]. Tada broj [inlmath]m+\left(2mx+x^2\right)^2[/inlmath] nije potpun kvadrat. Kontradikcija.
Dakle, [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m+n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.