Stranica 1 od 1

Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

PostPoslato: Četvrtak, 09. Jul 2020, 17:16
od ognjentesic
Pozdrav! Rešavao sam zadatak (čiji tekst i moje rešenje dajem u nastavku poruke). Moje pitanje se odnosi na to da li je moje rešenje tačno jer nemam rešenje i da li neko ima neku drugu ideju za rešavanje istog zadatka?

Tekst zadatka: Postoje li prirodni brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takvi da su brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] potpuni kvadati prirodnih brojeva?

Moje rešenje: Dokažimo da mora važiti [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Pretpostavimo suprotno. Ukoliko je [inlmath]m^2+n[/inlmath] potpun kvadrat, tada je razlika između kvadrata koji je za [inlmath]x[/inlmath] veći od [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]m^2[/inlmath] jednaka [inlmath]2mx+x^2=n[/inlmath]. Tada broj [inlmath]m+\left(2mx+x^2\right)^2[/inlmath] nije potpun kvadrat. Kontradikcija.
Dakle, [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m+n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.

Re: Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

PostPoslato: Subota, 11. Jul 2020, 01:14
od Daniel
ognjentesic je napisao:Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m{\color{red}+}n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.

Trebalo bi da sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m{\color{red}-}n=0[/inlmath] (moguće i da je samo greška u kucanju). U principu [inlmath]m-n=0[/inlmath] ne treba bez prethodne provere odbaciti kao nemoguće, jer u tekstu zadatka nije rečeno da [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] moraju biti međusobno različiti. Ipak, lako se pokazuje da je i taj slučaj nemoguć. Jer, ako bi bilo [inlmath]m=n[/inlmath], tada bi posmatrani brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] bili međusobno jednaki i iznosili bi [inlmath]m^2+m[/inlmath] (ili [inlmath]n^2+n[/inlmath], svejedno), a pošto je to proizvod dva uzastopna prirodna broja, samim tim ne može biti potpun kvadrat prirodnog broja. (Da proizvod dva uzastopna prirodna broja ne može biti potpun kvadrat prirodnog broja može se dokazati tako što se posmatra [inlmath]n\cdot n[/inlmath] kao kvadrat prirodnog broja [inlmath]n[/inlmath], i prvi sledeći potpun kvadrat prirodnog broja biće [inlmath](n+1)(n+1)[/inlmath], a pošto je [inlmath]n(n+1)[/inlmath] veći od [inlmath]n\cdot n[/inlmath] i manji od [inlmath](n+1)(n+1)[/inlmath], to znači da on ne može biti potpuni kvadrat prirodnog broja.)



Drugi način dokazivanja bio bi da pretpostavimo da i [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] jesu potpuni kvadrati, a pošto je najmanji potpuni kvadrat prirodnog broja koji je veći od [inlmath]m^2[/inlmath] jednak [inlmath](m+1)^2=m^2+2m+1[/inlmath], to znači da mora važiti [inlmath]n\ge2m+1[/inlmath]. Analogno, pošto je najmanji potpuni kvadrat prirodnog broja koji je veći od [inlmath]n^2[/inlmath] jednak [inlmath](n+1)^2=n^2+2n+1[/inlmath], to znači da mora važiti [inlmath]m\ge2n+1[/inlmath]. Uvrštavanjem druge nejednakosti u prvu dobija se
[dispmath]n\ge2m+1\ge2(2n+1)+1=4n+3\quad\Longrightarrow\quad3n+3\le0\quad\Longrightarrow\quad n\le-1[/dispmath] čime smo došli do kontradikcije jer [inlmath]n[/inlmath] mora biti prirodan broj.

Re: Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

PostPoslato: Subota, 11. Jul 2020, 01:24
od ognjentesic
U redu. Hvala na odgovoru, sad mi je jasno.