MATEMANIJA

Dokazati da je [inlmath]11\cdot 10^{2n}+1[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]3[/inlmath].

Za [inlmath]n=1[/inlmath] sam provjerio, ali sta raditi sa [inlmath]n+1[/inlmath]?

Radiš isto kao i kod svake indukcije.
Znači, u indukcijsku pretpostavku uvrstiš [inlmath]n=k[/inlmath], a u indukcijski korak uvrstiš [inlmath]n=k+1[/inlmath].
Zatim primeniš osobine stepenovanja.
Hajde kreni tako, pa napiši dokle si stigao.

Za [inlmath]n=k+1[/inlmath] dodjem uradim [inlmath]11\cdot10^{k+1}+1[/inlmath] pa zatim izvucem [inlmath]10[/inlmath] i dobijem [inlmath]110\cdot10^k+1[/inlmath], tu vec nemam ideju sta dalje.

Za pretpostavku postavi: [inlmath]11\cdot10^{2k}+1=3a[/inlmath] (jer ako je lijevi izraz djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath], desni izraz mora biti [inlmath]3[/inlmath] puta nešto).
Dok za korak indukcije imaš: [inlmath]11\cdot10^{2(k+1)}+1[/inlmath].
Sada primjeni osobine stepenovanja.

Eh, previd, ali i dalje ne znam šta raditi. Dobio sam [inlmath]100\cdot11\cdot10^{2k}+1[/inlmath]. Vidim ovdje dio pretpostavke ali kako broj [inlmath]100[/inlmath] pomnožen sa prvim dijelom utiče na to?

Iz pretpostavke imaš da je: [inlmath]11\cdot10^{2k}+1=3a[/inlmath]. To zamjeni u korak indukcije: [inlmath]100\cdot3a=300a[/inlmath], a to je [inlmath]3(100a)[/inlmath] što je djeljivo sa [inlmath]3[/inlmath].

Ili, ako te buni ovo [inlmath]a[/inlmath], može i bez njega – po indukcijskoj pretpostavci je [inlmath]11\cdot 10^{2k}+1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a u indukcijskom koraku imamo izraz [inlmath]11\cdot 10^{2k+2}+1[/inlmath] koji je, dakle, jednak
[dispmath]11\cdot 10^{2k+2}+1=100\cdot11\cdot 10^{2k}+1[/dispmath] Jedinicu zapišemo kao [inlmath]100-99[/inlmath] (kako bismo stotku združili s onom prethodnom stotkom, i izvukli je kao zajednički):
[dispmath]100\cdot11\cdot 10^{2k}+100-99=100\left(11\cdot 10^{2k}+1\right)-99[/dispmath] Kako je izraz u zagradi po indukcijskoj pretpostavci deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], to su oba sabirka deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], a samim tim je i ceo izraz deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].