Broj prirodnih brojeva

PostPoslato: Subota, 13. Mart 2021, 02:22
od markonikolic23
Zadatak je
Broj prirodnih brojeva koji nisu veci od [inlmath]135[/inlmath] za koje vazi [inlmath]\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor|n[/inlmath]? gde je [inlmath]\lfloor t\rfloor[/inlmath] - ceo deo realnog broja [inlmath]t[/inlmath].

Evo mog postupka
Predpostavimo da je [inlmath]\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor=k[/inlmath]
Tada [inlmath]k\le\sqrt n<k+1[/inlmath]
tjst [inlmath]k^2\le n\le k^2+2k+1[/inlmath]
Izmedju uzastopnih kvadrata [inlmath]k^2[/inlmath] i [inlmath](k+1)^2[/inlmath] samo ce brojevi [inlmath]k^2[/inlmath], [inlmath]k^2+k[/inlmath] i [inlmath]k^2+2k[/inlmath] biti deljivi sa [inlmath]k[/inlmath].
Posto brojevi ne smeju biti veci od [inlmath]135[/inlmath]
Ovako postavljam interval [inlmath]\left[1^2,2^2\right),\left[2^2,3^2\right),\ldots,\left[10^2,11^2\right)[/inlmath]
I onda imamo ukupno brojeva [inlmath]3\cdot10[/inlmath] ([inlmath]11[/inlmath] ne moze na osnovu sledeceg)
[inlmath]11^2=121[/inlmath] (manje od [inlmath]135[/inlmath]) [inlmath]11^2+11=132[/inlmath] (opet je manje) [inlmath]11^2+2\cdot11[/inlmath] (nije manje)
I sad ukupno brojeva kao sto rekoh bice [inlmath]3\cdot10[/inlmath] (zbog intervala) i jos dva (ova dva broja [inlmath]11^2[/inlmath] i [inlmath]11^2+11[/inlmath])
I tako da rezultat meni ispada da ukupno ima [inlmath]32[/inlmath] takva broja. Problem je sto to u odgovorima nije ponudjeno.
Resenja su ovako: [inlmath]11,\:12,\:22,\:33,\:34[/inlmath]
Trudim se sto jasnije da objasnim kako sam krenuo, pa ako moze pomoc gde sam pogresio. Hvala

Re: Broj prirodnih brojeva

PostPoslato: Subota, 13. Mart 2021, 22:44
od Fare
Ne vidim grešku u tvom dokazu i verovatno je greška u ponudjenim odgovorima.

Re: Broj prirodnih brojeva

PostPoslato: Ponedeljak, 15. Mart 2021, 02:32
od Daniel
Potvrđujem rezultat [inlmath]32[/inlmath] – provereno softverski, u JavaScriptu.

Re: Broj prirodnih brojeva

PostPoslato: Ponedeljak, 15. Mart 2021, 07:41
od primus