Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Postod Igor11 » Četvrtak, 03. Mart 2022, 18:55

* MOD EDIT * Zadatak izdvojen iz ove temetačka 10. Pravilnika

Ovih dana rjesavam zadatke za pripremu za takmicenje i naletim na ova dva (III razred)

[inlmath]2.[/inlmath] Odredi prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] tako da je [inlmath]n^4+n^3+n^2+n+1[/inlmath] potpun kvadrat. Za ovaj nisam imao ideje.
Igor11  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Postod Fare » Petak, 04. Mart 2022, 11:14

Primena nejednakosti;
[inlmath](2n^2+n)^2 = 4n^4+4n^3+n^2[/inlmath]

[inlmath](2n^2+n+1)^2 = 4n^4+4n^3+5n^2+2n+1[/inlmath]

Dva uzastopna kvadrata, broj [inlmath]4(n^4+n^3+n^2+n+1)[/inlmath] je između njih, .....
Mislim da je odgovor [inlmath]n=3[/inlmath].
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 111
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 144 puta

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Postod Igor11 » Petak, 04. Mart 2022, 13:08

Možeš samo jos malo pojasniti ovo oko dva uzastopna kvadrata. Hvala
Igor11  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Potpun kvadrat – zadatak za takmicenje

Postod Fare » Petak, 04. Mart 2022, 15:45

U skupu prirodnih brojeva rešiti jednačinu

[inlmath]n^4+n^3+n^2+n+1=x^2[/inlmath]

ekvivalentno je sa jednačinom

[inlmath]4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2x)^2[/inlmath]

Slučajeve [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]n=2[/inlmath] proverom eliminišeš i ostaju slučajevi [inlmath]n≥3[/inlmath]. Dalje je:

[inlmath](2n^2+n)^2+(3n^2+4n+4)=4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2n^2+n+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]

Radi jednostavnijeg zapisa neka je [inlmath]a=(2n^2+n)[/inlmath] i onda poslednja jednakost glasi:

[inlmath]a^2+(3n^2+4n+4)=(2x)^2=(a+1)^2-(n^2-2n-3)[/inlmath]

Kako je [inlmath]n≥3[/inlmath] to je [inlmath]3n^2+4n+4>0[/inlmath] i [inlmath]n^2-2n-3≥0[/inlmath], pa je:

[inlmath]a^2<(2x)^2≤(a+1)^2[/inlmath]

Kako su u pitanju prirodni brojevi to je

[inlmath](2x)^2=(a+1)^2[/inlmath]

za neko [inlmath]n[/inlmath], a tada je [inlmath]n^2-2n-3=0[/inlmath]. Rešenja poslednje jednačine su [inlmath]n=-1[/inlmath] i [inlmath]n=3[/inlmath]. Prvo otpada jer [inlmath]n∈N[/inlmath]. Dakle,

[inlmath]3^4+3^3+3^2+3+1=11^2[/inlmath]
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 111
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 144 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Jun 2024, 13:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs