Svaki prirodan broj [inlmath]n>1[/inlmath] može se jednoznačno izraziti u obliku
[inlmath]n=p_{1}^{e_1}·p_{2}^{e_2}···p_{k}^{e_k}[/inlmath]
gde su [inlmath]p_{1}>p_{2}>...>p_{k}[/inlmath] prosti brojevi i [inlmath]0<{e_i} \; \left( i=1,2,...,k \right)[/inlmath]
a broj pozitivnih delioca broja n je
[inlmath]τ\left( n \right) =\left(e_{1}+1 \right)\left(e_{2}+1 \right)···\left(e_{k}+1 \right)[/inlmath]
koji ne zavisi od prostih brojeva nego od odgovarajućih eksponenata prostih brojeva.
Ne znam strog dokaz, ali može se “zaključiti” sledeće :
Ako je [inlmath]n≤2022[/inlmath] za koji izraz [inlmath]τ\left( n \right)[/inlmath]dostiže maksimum tada je
[inlmath]n=2^{e_2}·3^{e_3}·5^{e_5}·····p^{e_p}[/inlmath]
gde su [inlmath]2,3,...,p[/inlmath]
uzastopni prosti brojevi i da je [inlmath]e_{2}≥e_{3}≥...≥e_{p}[/inlmath].
Da bi broj bio što “složeniji” treba da ima što više prostih činica. U ovom slučaju [inlmath]2,3,5,7[/inlmath], tj. [inlmath]n=2^{e_2}·3^{e_3}·5^{e_5}·7^{e_7}[/inlmath]. ([inlmath]11[/inlmath] otpada jer je [inlmath]2·3·5·7·11>2022[/inlmath])
Sada je potrebno povećavati eksponente ali tako da je [inlmath]n≤2022[/inlmath], što za ovaj zadatak ne ostavlja mnogo izbora.
Mislim da je [inlmath]n=2^{4}·3·5·7=1680[/inlmath], koji ima [inlmath]τ\left( 1680 \right) =n=5·2·2·2=40[/inlmath] delioca.
Ovo je lep programerski zadatak.