Indukcija – dobijanje nejednacine

PostPoslato: Četvrtak, 01. Septembar 2022, 11:50
od x64rax
Osmi zadakat: (a) dokazati da za sve [inlmath]n\geq1[/inlmath],
[dispmath]2\cdot6\cdot10\cdot14\cdots(4n-2)=\frac{(2n)!}{n!}[/dispmath] sto je i bilo lako dokazati medjutim pod (b)
(b): Iskoristi deo (a) da bi dobio nejednacinu
[dispmath]2^n(n!)^2\leq(2n)![/dispmath]
moj rad:
shvatio sam da ce biti [inlmath]2^n[/inlmath] brojeva jer svaki broj je paran i mozemo ga rastaviti, e sad mi dobijamo red neparnih brojeva koji se mnoze [inlmath]3\cdot5\cdot7\cdot9\cdots[/inlmath] (a njih ce biti [inlmath]n-1[/inlmath]). E sada dalje ne znam kako da prebacim i da dodjem nejednakost, nazalost u knjizi je dato jako malo resenih zadataka sa indukcije (samo osnovno). Koga zanima knjiga je od Burtona elementarna teorija brojeva.

Re: Indukcija – dobijanje nejednacine

PostPoslato: Petak, 02. Septembar 2022, 12:03
od Daniel
x64rax je napisao:e sad mi dobijamo red neparnih brojeva koji se mnoze [inlmath]3\cdot5\cdot7\cdot9\cdots[/inlmath] (a njih ce biti [inlmath]n-1[/inlmath]).

Zapravo, nakon deljenja [inlmath]2\cdot6\cdot10\cdot14\cdots(4n-2)[/inlmath] sa [inlmath]2^n[/inlmath] dobijamo proizvod neparnih brojeva [inlmath]{\color{red}1}\cdot3\cdot5\cdot7\cdots(2n-1)[/inlmath], a njih će biti [inlmath]n[/inlmath] (jedinica, naravno, ne utiče na vrednost proizvoda, ali to ne znači da ona tu ne treba da stoji). Mislim da sad nije teško postaviti traženu nejednakost (pri čemu je očigledno da će znak jednakosti važiti samo za [inlmath]n=1[/inlmath]).