Stranica 1 od 1

Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:08
od DarkoPatic
Ja bih zamolio za pomoć oko rešavanja ovakvog zadatka:

Dokazati da je [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] deljivo sa [inlmath]10[/inlmath].


Ova lekcija je od ove godine uvedena kao deljivost brojeva u prvom razredu srednje škole i ima poseban način kako se radi. Prvo se rastavljaju stepeni i radi se preko neke formule gde se malo [inlmath]n[/inlmath] izbacuje ispred zagrade pa se onda rešava zadatak. Naravno znam da je uslov da broj bude deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] da ima na kraju nulu. Nisam nikada slično rešavao pa bih zamolio neko ovo da mi pomogne kako se pravilno radi zadatak. Nije matematička indukcija i ne sme da se radi kao lekcija matematičke indukcije iz treće godine nego jednostavnije nešto sa [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] pa bih zamolio neko da mi pomogne ako može.

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:23
od Fare
Posmatraj samo poslednju cifru brojeva [inlmath]22^1,22^2,22^3,22^4,22^5,\ldots[/inlmath] Probaj da uočiš neku pravilnost.
Slično i kod ostala dva sabirka.

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:41
od DarkoPatic
Hvala na brzom odgovoru. Da, razmišljao sam da rastavim kako [inlmath]22^1[/inlmath] ili slično pa puta [inlmath]10[/inlmath] na neki stepen pa tako svaki broj ali ne znam da li tako može i da li je pravilno? Time bi dobio dokaz da je svaki broj pomnožen sa brojem [inlmath]10[/inlmath] na neki stepen u stvari deljiv sa [inlmath]10[/inlmath]. Da li je to pravilno?

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 18:56
od Fare
Ne. Kada treba da odrediš poslednju cifru proizvoda dva broja bitne su samo poslednje cifre ta dva broja.
[inlmath]22^2[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]4[/inlmath], jer je [inlmath]2\cdot2=4[/inlmath]
[inlmath]22^3[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]8[/inlmath], jer je [inlmath]4\cdot2=8[/inlmath]
[inlmath]22^4[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]6[/inlmath], jer je [inlmath]8\cdot2=16[/inlmath]
[inlmath]22^5[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]2[/inlmath], jer je [inlmath]6\cdot2=12[/inlmath]
[inlmath]\cdots[/inlmath]
[inlmath]22^{22}[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]4[/inlmath].

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 19:49
od DarkoPatic
Poslednja cifra za [inlmath]77^{100}[/inlmath] je broj [inlmath]7[/inlmath] a za [inlmath]55[/inlmath] na bilo koji stepen je poslednja cifra broj [inlmath]5[/inlmath]. Kada znam sve poslednje cifre, kako dobijam onda nulu na kraju da bi bilo deljivo sa [inlmath]10[/inlmath]? Nije mi to baš najjasnije jer da bi bio broj deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] na kraju mora da ima nulu.

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 20:15
od Fare
[inlmath]77^0=1[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath]
[inlmath]77^1=77[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]7[/inlmath]
[inlmath]77^2[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]9[/inlmath]
[inlmath]77^3[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]3[/inlmath]
[inlmath]77^4[/inlmath] - poslednja cifra je [inlmath]1[/inlmath]
I sada, dolazi do ponavljanja poslednje cifre. Nastavljajući ovaj postupak, vidi se da istu poslednju cifru imaju [inlmath]77^0,77^4,77^8,\cdots,77^{100}[/inlmath], a to je [inlmath]1[/inlmath].

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Nedelja, 30. Oktobar 2022, 20:25
od DarkoPatic
Jeste, u pravu si. Nisam brojao [inlmath]77[/inlmath] na nulti stepen. Sve je jasno. Hvala puno ;)

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Ponedeljak, 31. Oktobar 2022, 00:32
od ubavic
Ovde može malo drugačije da se odradi.

Da bi broj [inlmath]x[/inlmath] bio deljiv sa [inlmath]10[/inlmath] potrebno je i dovoljno da bude deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath].

Dokažimo da je dati broj deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]: broj [inlmath]22[/inlmath] je paran, pa je i [inlmath]22^{22}[/inlmath] paran. Broj [inlmath]77[/inlmath] je neparan, pa je i [inlmath]77^{100}[/inlmath] neparan, i slično zaključujemo da je i [inlmath]55^{55}[/inlmath] neparan. Kako je broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] zbir jednog parnog i dva neparna, sledi da je paran odnosno deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].

Slično postupamo i kod deljivosti sa [inlmath]5[/inlmath], jedino što sada gledamo ostatke pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath]. Ostatak pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] broja [inlmath]22[/inlmath] je naravno [inlmath]2[/inlmath]. Dalje možemo da utvrdimo da su ostaci brojeva [inlmath]22^2[/inlmath], [inlmath]22^3[/inlmath], [inlmath]22^4[/inlmath], [inlmath]22^5[/inlmath], [inlmath]22^6[/inlmath], [inlmath]22^7[/inlmath],... redom [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath],... Dakle imamo ciklus od četiri člana. Odatle se može odrediti da je ostatak pri deljenju broja [inlmath]22^{22}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]4[/inlmath]. (ovo je zapravo isto kao određivanje poslednje cifre u bazi sa osnovom [inlmath]5[/inlmath], što je prikazano i u prethodnim odgovorima). I slično određujemo da je ostatak pri deljenu broja [inlmath]77^{100}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]55^{55}[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] baš [inlmath]0[/inlmath] (ovo je i očigledno). Dakle broj [inlmath]22^{22}+77^{100}-55^{55}[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]5[/inlmath] ima ostatak [inlmath]4 + 1 -0 \equiv_5 0[/inlmath]

Vidimo da je ovaj postupak sličan onome što je Fare predložio. Rekao bih da je blaga prednost to što se može lakše računati kad se brojevi uvećaju. Naravno, ovo može sve elegantnije ako se zna račun sa modulima.

Re: Dokazivanje deljivosti brojem 10

PostPoslato: Ponedeljak, 31. Oktobar 2022, 10:26
od DarkoPatic
Hvala puno svima. Da, kao što je Ubavić predložio može i tako mada sam uradio na način kao što je Fare predložio. Ovo je tek od ove godine uvedeno kao obavezna lekcija za prvi razred srednje škole pa me je zadatak malo iznenadio jer se ovakve i slične lekcije rade na drugačiji način tek u trećem razredu srednje škole.