Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ARITMETIKA

Dokazivanje da je broj ceo

Dokazivanje da je broj ceo

Postod Odd one out » Sreda, 21. Maj 2014, 16:27

Dokazati da je[dispmath]5^\frac{1}{2}\left(\left(2-5^\frac{1}{2}\right)^8-\left(2+5^\frac{1}{2}\right)^8\right)[/dispmath] ceo broj.

Ja sam ovo u zagradi pretvorio u razliku kvadrat pa kvadrirao 2 puta i dobio sam da mi je u zagraci ceo broj a vani je jos uvek ostao [inlmath]5^\frac{1}{2}[/inlmath].
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazivanje da je broj ceo

Postod Milovan » Sreda, 21. Maj 2014, 23:31

[dispmath]\sqrt{5}\cdot\left(\left(2-\sqrt 5\right)^8-\left(2+\sqrt 5\right)^8\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{5}\left(\left(2-\sqrt 5\right)^4-\left(2+\sqrt 5\right)^4\right)\left(\left(2-\sqrt 5\right)^4+\left(2+\sqrt 5\right)^4\right)[/dispmath]
Vrednosti [inlmath]\left(2-\sqrt 5\right)^4=\left(\left(2-\sqrt 5\right)^2\right)^2=161-72\sqrt{5}[/inlmath] i [inlmath]\left(2+\sqrt 5\right)^4=\left(\left(2+\sqrt 5\right)^2\right)^2=161+72\sqrt{5}[/inlmath] se lako izračunavaju.

Uvrsti dalje te vrednosti i dobićeš da je ceo polazni izraz jednak [inlmath]-231840[/inlmath], što je ceo broj.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Dokazivanje da je broj ceo

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Maj 2014, 10:00

Odd one out je napisao:dobio sam da mi je u zagraci ceo broj a vani je jos uvek ostao [inlmath]5^\frac{1}{2}[/inlmath].

To ti je odmah bio signal da si negde omašio u računu, jer proizvod celog broja (koji nije nula) i iracionalnog broja može biti samo iracionalan, nikako ceo broj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Dokazivanje da je broj ceo

Postod Milovan » Četvrtak, 22. Maj 2014, 10:33

Drugi način... Smena [inlmath]a=2+\sqrt{5}[/inlmath] i [inlmath]b=2-\sqrt{5}[/inlmath]

Tada je [inlmath]a-b=2\sqrt{5}[/inlmath], odnosno [inlmath]\sqrt{5}=\frac{a-b}{2}[/inlmath].

Otuda polazni izraz postaje:
[dispmath]\frac{a-b}{2}\left(b^8-a^8\right)=\frac{a-b}{2}\left(b^4-a^4\right)\left(b^4+a^4\right)=\frac{a-b}{2}(b-a)(b+a)\left(b^2+a^2\right)\left(b^4+a^4\right)[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{2}(a-b)^2(b+a)\left((b+a)^2-2ab\right)\left(\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]-\frac{a+b}{2}(a-b)^2\left((a+b)^2-2ab\right)\left(\left((a+b)^2-2ab\right)^2-2(ab)^2\right)[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]a+b=4[/inlmath], [inlmath]\frac{a+b}{2}=2[/inlmath], [inlmath]ab=-1[/inlmath] i [inlmath](a-b)^2=20[/inlmath] – sabiranjem, oduzimanjem i množenjem koje imamo u ovom obrascu svakako dobijamo ceo broj. Naravno, možemo to proveriti i uvrštavanjem vrednosti.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta


Povratak na ARITMETIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 17 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs