Ponovo sam uradio zadatak prvo sam određivo uslove za numerus pa tek onda posebno za baze kada su veće od [inlmath]1[/inlmath] i kada su između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Mada nije se puno toga promjenilo.Za prvi uslov (da su baze veće od [inlmath]1[/inlmath]) dobijem rješenje [inlmath]x\in(-3,-2)[/inlmath] i mislim da je to ok.Ali ovo za ovaj drugi interval mi nije jasno nikako [inlmath]x\in(-2,-1)[/inlmath] Meni ispada da ne zadovoljava uslove za baze.Evo npr. uzecemo [inlmath]x=-\frac{3}{2}[/inlmath].Ja koliko znam logaritamska funkcija se ne može definisati za negativne baze. Uzmemo ovu bazu [inlmath]2(x+1)^2-1[/inlmath]
[dispmath]2(x+1)^2-1=2\left(1-\frac{3}{2}\right)^2-1=2\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1=\frac{2}{4}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}[/dispmath]

Pogledaj bolje, baza nije [inlmath]2\left(x+1\right)^2-1[/inlmath], već [inlmath]2^{\left(x+1\right)^2}-1[/inlmath].

Kako se rješavaju 14. i 15. zadatak?

U 14. sam probala sa varijacijama, pošto u skupu ima [inlmath]20[/inlmath] parnih i [inlmath]20[/inlmath] neparnih brojeva. I onda imamo 2 mogućnosti: 2 parna [inlmath]+[/inlmath] 1 neparan broj [inlmath]=[/inlmath] neparan broj; ili 3 neparna broja [inlmath]=[/inlmath] neparan broj. Međutim, ne dobijem tačno rješenje, već broj iznad [inlmath]7000[/inlmath].

U 15. ne razumijem kako dobiti površinu osnove (trougao) kada imamo samo jednu stranicu i jedan ugao. Ne mogu ništa sa trigonometrijom, sinusnom niti kosinusnom teoremom... Nemam više ideja...

Prepišimo te zadatke...

[inlmath]14.[/inlmath] Na koliko načina se mogu izabrati tri broja iz skupa prirodnih brojeva [inlmath]\left\{1,2,3,\ldots,40\right\}[/inlmath] tako da im zbir bude neparan broj?
[inlmath]\left(A\right)\;1140\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;6480\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;14080\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\left(D\right)\;4940}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;3800\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[inlmath]15.[/inlmath] U valjak prečnika osnove [inlmath]14\sqrt3\mbox{ cm}[/inlmath] i visine [inlmath]20\mbox{ cm}[/inlmath] upisana je prava trostrana prizma čija osnova je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] čija je stranica [inlmath]BC=9\mbox{ cm}[/inlmath], a ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] je [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Zapremina prizme (u [inlmath]\mbox{ cm}^3[/inlmath]) je:
[inlmath]\left(A\right)\;1890\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;810\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;3780\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\left(D\right)\;675\sqrt3}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;825\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

---

U [inlmath]14.[/inlmath] zadatku ti je rezon dobar (dva parna plus jedan neparan, ili sva tri neparna) ali to ne radiš preko varijacija, već preko kombinacija, jer nije bitan redosled brojeva. Npr. [inlmath]12+19+34[/inlmath] i [inlmath]34+12+19[/inlmath] tretiraju se kao jedan isti slučaj.

U [inlmath]15.[/inlmath] zadatku primeniš sinusnu teoremu, koja kaže [inlmath]\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=2R[/inlmath], gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik kružnice opisane oko posmatranog trougla. Ovde ti je [inlmath]2R[/inlmath] dato, to je prečnik osnove valjka.

Uradio sam ovaj 20-i zadatak. Rješenje je tačno. Najbolje bi bilo da ga neko pregleda i ukaže na propuste,mislim ono šta je dobro ,šta nije, kako bi on to radio itd... Imam 5 stranica puno ima toga ako bi se to prekucavalo u latex.A i attachemt ne može prikačiti veće fajlove. Pa sam stavio na hosting server.
List1
List2
List3
List4
List5

rezultat ti nije dobar...
[dispmath]x^2-2x>2x^2+2x+3[/dispmath]
zato sto numerus logaritma u broiocu mora biti veci od [inlmath]0[/inlmath] a to ces postici samo uz ovaj prethodni uslov(vrijednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veci od baze)... mnogo si zakomplikovao trazi ti se samo oblik rjesenja a ne ono citavo, glupo je da gubis vrijeme pisuci 5 stranica na prijemnom kada to nije potrebno

mislim da ne bi mogao ovako uraditi zadatak na takmicenju bez ovog uslova, u ovom slucaju se oblik rjesenja nece mijenjati ali mozda bi i doslo do neke promjene da su brojevi drugaciji

mada je stojim pri tome da si odmah mogao zakljuciti da je nemoguce da bude oblika gdje ima beskonacnost ali i skupa gdje nema prekida tako da si odmah mogao doci do ovog oblika bez potrosenih 5 stranica

Sinisa je napisao:rezultat ti nije dobar...

Kakav sad rezultat nije dobar ? Konačan ili od ove nejednačine što si je napiso. Rješenje te nejednačine je [inlmath]x\in(-3,-1)[/inlmath] kao i kod mene. Treba biti [inlmath]\ge[/inlmath] a ne [inlmath]>[/inlmath] tako da umjesto oblih trebaju uglate zagrade.To sa 5 listova znam da je malo pretjerano zakompikovano pokušavo sam ja ovo skraćivati na neke fazone ali dobio sam uvijek pogrešan rezultat.Pa eto uzmi ti riješi kako ti misliš da je dobro pa postavi da vidimo.Upravo to kako doci do toga oblika rješenja a ne čitavog rješenja. Meni je samo ono rješenje tada palo na pamet kada sam ga radio.

Sinisa je napisao:(vrijednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veci od baze)

Mislim da si se malo zbunio, vrednost logaritma je veća od jedinice ako je njegov numerus veći od baze, a vrednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veći od [inlmath]1[/inlmath]. Sve to, pod uslovom da je baza veća od jedinice. Ako je baza manja od jedinice, onda sve obratno. Dakle,
[dispmath]\log_ba>1\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
a>b, & \mbox{za }b>1\\
a<b, & \mbox{za }0<b<1\\
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\log_ba>0\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
a>1, & \mbox{za }b>1\\
a<1, & \mbox{za }0<b<1\\
\end{cases}[/dispmath]
Ali, slažem se s tobom da je Gamma nepotrebno zakomplikovao.

@Gamma
Što se tiče određivanja definisanosti, pogrešan ti je uslov [inlmath]h\left(x\right)>1\;\Rightarrow\;\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Treba da se dobije [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-3\right\}[/inlmath]. Mada si posle, na drugom listu, to ispravio...
Nije uopšte potrebno ispitivati [inlmath]m\left(x\right)>1[/inlmath] i [inlmath]0<m\left(x\right)<1[/inlmath], a ni određivati grafik te funkcije, ako se radi na način koji ću kasnije pokazati.
Posle kad sam video da si razmatrao slučajeve kad su brojilac i imenilac pozitivni i kad su brojilac i imenilac negativni, i to u zavisnosti od vrednosti baze, iskreno, nisam dalje ni gledao. Umesto toga, pošto imamo istu bazu logaritma u brojiocu i u imeniocu, bilo je dovoljno primeniti identitet [inlmath]\frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba[/inlmath]...
Uostalom, evo celog postupka – od početka do kraja. Najveći posao je, dakle, odrediti oblast definisanosti jer ima mnogo uslova, a ovo ostalo se časkom uradi...

---

[dispmath]\frac{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\Big(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\Big)}{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)}\ge0[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{ll}
1^\circ\quad2^{\left(x+1\right)^2}-1>0 & 5^\circ\quad2x^2+2x+3\ne1\\
2^\circ\quad2^{\left(x+1\right)^2}-1\ne1 & 6^\circ\quad\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)>0\\
3^\circ\quad x^2-2x>0 & 7^\circ\quad x^2+6x+10>0\\
4^\circ\quad2x^2+2x+3>0\qquad & 8^\circ\quad\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)\ne0
\end{array}[/dispmath]

---

[dispmath]\begin{matrix}
1^\circ\\
2^{\left(x+1\right)^2}-1>0\qquad\\
2^{\left(x+1\right)^2}>1\\
\left(x+1\right)^2>0\\
\underline{x\ne-1}
\end{matrix}
\begin{matrix}
2^\circ\\
2^{\left(x+1\right)^2}-1\ne1\\
2^{\left(x+1\right)^2}\ne2\\
\left(x+1\right)^2\ne1\\
\sqrt{\left(x+1\right)^2}\ne\sqrt1\\
\left|x+1\right|\ne1\\
x+1\ne -1\;\land\;x+1\ne1\qquad\\
\underline{x\ne -2\;\land\;x\ne0}
\end{matrix}
\begin{matrix}
3^\circ\\
x^2-2x>0\\
x\left(x-2\right)>0\\
\underline{x<0\;\lor\;x>2}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
4^\circ\\
2x^2+2x+3>0\qquad\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
5^\circ\\
2x^2+2x+3\ne1\\
\left.2x^2+2x+2\ne0\quad\right/:2\qquad\\
x^2+x+1\ne0\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
6^\circ\\
\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)>0\\
2x^2+2x+3>1\;\Rightarrow\;x^2-2x>1\\
x^2-2x-1>0\\
x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}\\
x_{1,2}=1\pm\sqrt2\\
\underline{x<1-\sqrt2\;\lor\;x>1+\sqrt2}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
7^\circ\\
x^2+6x+10>0\qquad\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
8^\circ\\
\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)\ne0\\
x^2+6x+10\ne1\\
x^2+6x+9\ne0\\
\left(x+3\right)^2\ne0\\
\left|x+3\right|\ne0\\
\underline{x\ne-3}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{x\in\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-3,-2\right)\cup\left(-2,-1\right)\cup\left(-1,1-\sqrt2\right)\cup\left(1+\sqrt2,+\infty\right)}[/dispmath]
Nakon određivanja oblasti definisanosti, rešavamo samu nejednačinu, pri čemu koristimo identitet [inlmath]\frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba[/inlmath], pri čemu je:
[dispmath]a=\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\\
b=x^2+6x+10\\
c=2^{\left(x+1\right)^2}-1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\frac{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\Big(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\Big)}{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)}=\log_{x^2+6x+10}\bigg(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\bigg)\ge0[/dispmath]
Pošto je pod [inlmath]8^\circ[/inlmath] već utvrđeno da je [inlmath]x^2+6x+10>1[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] osim za [inlmath]x=-3[/inlmath], a [inlmath]x=-3[/inlmath] ne pripada oblasti definisanosti, sledi da se pri oslobađanju od logaritma ne menja smer nejednakosti, pa je
[dispmath]\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\ge1\\
\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\ge\log_{2x^2+2x+3}\left(2x^2+2x+3\right)[/dispmath]
Pošto je takođe, pod [inlmath]5^\circ[/inlmath] već utvrđeno da je [inlmath]2x^2+2x+3>1[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath], sledi da se pri oslobađanju od logaritma ne menja smer nejednakosti, pa je
[dispmath]x^2-2x\ge2x^2+2x+3\\
x^2+4x+3\le0\\
x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2}\\
x_{1,2}=-2\pm1\\
\underline{-3\le x\le-1}[/dispmath]
što u preseku s oblašću definisanosti daje
[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(-3,-2\right)\cup\left(-2,-1\right)}[/dispmath]

ja nmg da vjerujem da sam ja ovo uradio na tvoj nacin i ladno sam napisao da je [inlmath]16-12=2[/inlmath]

i da je to [inlmath]\sqrt2[/inlmath] a ne samo [inlmath]2[/inlmath]... uvijek fulim po bar jedan broj :O

Igleda da se malo više zbunio...