Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Otvoreni i zatvoreni skupovi

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Otvoreni i zatvoreni skupovi

Postod StefanosDrag » Ponedeljak, 08. Novembar 2021, 01:13

Ćao! Da li bi neko mogao da proveri da li su moji odgovori za a) i b) tačni?

Neka je [inlmath]B[/inlmath] skup koji nije prazan i koji je ograničen odozdo. Takođe, neka je [inlmath]i=\inf(B)[/inlmath].

a) Dokaži da je [inlmath]i\in\overline B[/inlmath].
b) Da li je moguće da otvoren set sadrži infimum? Ukoliko je to moguće, daj primer. Ukoliko nije, ukratko objasni zašto nije moguće.

a)
Broj [inlmath]i[/inlmath] je infimum skupa [inlmath]B\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] ukoliko je 1) [inlmath]i[/inlmath] donja granica skupa [inlmath]B[/inlmath], i 2) ako za neku drugu donju granicu skupa [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]l[/inlmath], važi da je [inlmath]i\ge l[/inlmath].
Na osnovu 1) imamo da je [inlmath]i-b<0[/inlmath] za sve elemente [inlmath]b\in B[/inlmath].
Na osnovu 2) imamo da za proizvoljno [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]b\in B[/inlmath] takav da je [inlmath]i-\varepsilon>b[/inlmath] (dakle, ukoliko oduzmemo bilo koju vrednost od infimuma, ta nova vrednost više nije donja granica.)
Ovo znači da je [inlmath]0>i-b>\varepsilon[/inlmath], odnosno [inlmath]0<b-i<\varepsilon[/inlmath], ili [inlmath]|b-i|<\varepsilon[/inlmath].
Dakle, [inlmath]i[/inlmath] je tačka nagomilavanja skupa [inlmath]B[/inlmath].
Zatim, za proizvoljno [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath], [inlmath]\varepsilon[/inlmath]-okruženje [inlmath]V_\varepsilon(i)=(i-\varepsilon,\,i+\varepsilon)[/inlmath] sadrži elemente koji su manji od [inlmath]i[/inlmath] i koji su izvan skupa [inlmath]B[/inlmath].
Dakle, možemo zaključiti da je [inlmath]i\in\overline B[/inlmath].

b)
Otvoren skup [inlmath]B[/inlmath] ne može da sadrži svoj infimum zato što [inlmath]\varepsilon[/inlmath]-okruženje od infimuma nije sadržano u skupu [inlmath]B[/inlmath].
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 27 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 18:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs