Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Ispitivanje osobina relacije

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Ispitivanje osobina relacije

Postod Acim » Subota, 20. Novembar 2021, 21:59

Zdravo,
Zadata je relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(x,x^2\right)\mid\:x\in[0,\infty)\right\}[/inlmath]. Treba ispitati osobine [inlmath]\:R\:S\:A\:T\:F[/inlmath]

Za refleksivnost mi je jasno - nije refleksivna jer ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]2\rho4[/inlmath], gde odmah propada refleksivnost.
E sad, nastaje problem od određivanja simetričnosti pa sve nadalje. Da krenem od simetričnosti:
Ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath], prema definiciji simetričnosti to bi izgledalo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath]. Zbog čega taj uslov ne važi, jer imamo kontrapar?
Kod antisimetričnosti: Uzmimo ponovo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath]. Dobijamo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath], što bi značilo da je [inlmath]2=4[/inlmath] što nikako nije tačno, a tačno je u rešenju.

Slično pitanje i kod tranzitivnosti i kod funkcija, nesiguran sam još uvek oko toga, tako da bi svaka pomoć značila.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje osobina relacije

Postod Daniel » Petak, 28. Januar 2022, 00:01

Acim je napisao:Ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath], prema definiciji simetričnosti to bi izgledalo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath]. Zbog čega taj uslov ne važi, jer imamo kontrapar?

Za [inlmath]x=2[/inlmath], da bi simetričnost važila, morali bismo imati [inlmath]2\rho4\;\Longrightarrow\;4\rho2[/inlmath]. Međutim, [inlmath]4\rho2[/inlmath] očigledno ne važi, jer ako je [inlmath]x=4[/inlmath], tada [inlmath]x^2[/inlmath] nije jednako [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome, imamo levu stranu implikacije koja je tačna i desnu koja je netačna, pa je cela implikacija netačna, tj. imamo kontraprimer za simetričnost. Simetričnost nije zadovoljena.

Acim je napisao:Kod antisimetričnosti: Uzmimo ponovo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath]. Dobijamo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath], što bi značilo da je [inlmath]2=4[/inlmath] što nikako nije tačno, a tačno je u rešenju.

Izgleda da nisi razumeo sâm pojam antisimetričnosti. On kaže da, ako je [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath], tada je [inlmath]x=y[/inlmath]. To, drugim rečima, znači da je uslov za antisimetričnost taj, da ne postoje dva različita elementa takva da istovremeno prvi bude u relaciji s drugim i drugi u relaciji s prvim.
U ovom konkretnom slučaju, kada bi jedan element bio u relaciji s drugim, a drugi s prvim, to bi značilo da je [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath], a pošto je [inlmath]x^2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x^4[/inlmath], značilo bi da je [inlmath]x=x^4[/inlmath], a takvih elemenata u skupu [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] ima samo dva (to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]).
  • Dakle, za [inlmath]x=0[/inlmath]:
    [inlmath]0\rho0^2\;\land\;0^2\rho0\;\Longrightarrow\;0=0^2[/inlmath] – obe strane implikacije su tačne, pa je cela implikacija tačna;
  • Slično i za [inlmath]x=1[/inlmath];
  • Za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] iz datog skupa koje nije [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]:
    [inlmath]x\rho x^2\;\land\;x^2\rho x\;\Longrightarrow\;x=x^2[/inlmath] – i leva i desna strana implikacije su netačne, pa je cela implikacija tačna.
Pošto je implikacija tačna za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] iz datog skupa, to znači da antisimetričnost jeste zadovoljena.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9092
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5019 puta
Pohvaljen: 4855 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 08. Avgust 2022, 22:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs