MATEMANIJA

Pozdrav ljudi,
Imam par problemčića vezanih za opštu algebru, pa sam sve to grupisao u jedno pitanje.
Svaka pomoć je dobro došla:

1. Na skupu racionalnih brojeva proučiti zakone operacije [inlmath]\circ[/inlmath] definisane relacijom :
a) [inlmath]x\circ y[/inlmath]
b) [inlmath]x\circ y={x+y\over1-xy}[/inlmath]

Kod ovog zadatka mi nije jasno zasto [inlmath]\circ :\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q[/inlmath] nije binarna operacija, tj zasto [inlmath]x\circ y[/inlmath] nije definisana?

2. Da li nula kao broj ima inverzan element u [inlmath](\mathbb C,+)[/inlmath], a u [inlmath](\mathbb C,\cdot)[/inlmath] nema. I da li je to zbog definicije inverznog elementa?

3. Ako moze ukratko objasnjenje, sta se zapravo radi kod minimizacije aksioma grupe, tj sta se zapravo dobija time?

4. Dat je skup [inlmath]\mathbb G=\left\{\left.x-y\sqrt 5\;\right|\;(x,y\in\mathbb Q)\;x^2-5y^2=1\right\}[/inlmath] Dokazati da je uredjeni par [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath], gde je [inlmath]\circ[/inlmath] operacija mnozenja realnih brojeva.

Kod ovog zadatka mi nije bas najjasnija formulacija ovog skupa [inlmath]\mathbb G[/inlmath], sta to zapravo znaci i dokazivanje zatvorenosti skupa, na kraju kada se dokazuje ovaj drugi izraz dobije se rezultat [inlmath]\left(x^2-5y^2\right)\cdot\left(u^2-5v^2\right)[/inlmath] a iz toga [inlmath]1\cdot 1=1[/inlmath] e sad mi nije jasno zasto mora da znaci da je druga zagrada jednaka jedinici i sta je time zapravo dokazano. Takodje mi nije jasan princip dokazivanja neutralnog elementa i inverza, jer se primenjuju oba izraza iz skupa.

5. Operacija [inlmath]\circ[/inlmath] je definisana sa [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay-a^2+a,\;a\in\mathbb R[/inlmath].
a) Ispitati da li je operacija [inlmath]\circ[/inlmath] unutrasnja operacija na skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\{a\}[/inlmath].
b) U zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath] ispitati prirodu strukture [inlmath](\mathbb R\setminus\{a\},\circ)[/inlmath].

Ovde sam dokazao da je [inlmath]\circ[/inlmath] unutrasnja operacija, mednjutim nije mi jasan zadatak pod b) jer sam prilikom dokazivanja dobio da mi je [inlmath]x=a\lor y=a[/inlmath], tj nemam konkretnu vrednost za parametar.

6.Zadatak kaze: Ako je [inlmath]\mathbb G=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}[/inlmath], a operacija [inlmath]\circ[/inlmath] definisana kao sabiranje po modulu [inlmath]p[/inlmath], dokazati da je [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath] Abelova grupa.

Ovde mi nije jasan dokaz asocijativnosti koji kaze [dispmath](\forall a,b,c\in\mathbb G)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\\a+b=k\cdot p+(a\circ b)\\(a,b,c\in\mathbb G)\\(a+b)+c=a+(b+c)[/dispmath] pa se dalje nastavlja dokazivanje na sirem skupu itd sta predstavlja i odakle se pojavio izraz [inlmath]a+b=k\cdot p+(a\circ b)[/inlmath]?

I ako moze savet, na sta obratiti paznju kod zatataka koji imaju sabiranje/mnozenje po modulu.

Ja se nadam da nije preopsirno i da je bolje sto sam sve stavio u jednu temu, da ne bih bez potrebe otvarao za svako pitanje posebno.

Pozdrav,

maxaa je napisao:1. Na skupu racionalnih brojeva proučiti zakone operacije [inlmath]\circ[/inlmath] definisane relacijom :
a) [inlmath]x\circ y[/inlmath]
b) [inlmath]x\circ y={x+y\over1-xy}[/inlmath]

Kod ovog zadatka mi nije jasno zasto [inlmath]\circ :\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q[/inlmath] nije binarna operacija, tj zasto [inlmath]x\circ y[/inlmath] nije definisana?

Operacija [inlmath]\circ[/inlmath] nije definisana za one parove [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takve da je [inlmath]x=\frac{1}{y}[/inlmath], jer bi tada imenilac razlomka [inlmath]\frac{x+y}{1-xy}[/inlmath] bio jednak nuli, pa vrednost razlomka ne bi bila definisana, a samim tim ni rezultat operacije.

maxaa je napisao:2. Da li nula kao broj ima inverzan element u [inlmath](\mathbb C,+)[/inlmath], a u [inlmath](\mathbb C,\cdot)[/inlmath] nema. I da li je to zbog definicije inverznog elementa?

Kada se operacija primeni na neki element i njemu inverzan element, treba da se dobije neutralni element za tu operaciju.
Za operaciju sabiranja neutralni element je nula. Za nulu, inverzni element za sabiranje bi bila takođe nula, jer je [inlmath]0+0=0[/inlmath], tj. primenom operacije sabiranja na nulu kao element i na njoj inverzni element, takođe nulu, dobija se nula, što jeste neutralni element za sabiranje.
Za operaciju množenja neutralni element je jedinica. Inverzni element za nulu bio bi onaj element kojim bi nulu trebalo pomnožiti da bi se dobila jedinica. To jest,
[dispmath]0\cdot x=1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{0}[/dispmath]
Pošto bismo imali deljenje nulom, zaključujemo da takav inverzan element ne postoji.

Zasad od mene toliko, dao bih priliku i drugima da, ako žele, učestvuju u odgovorima...

1. Na skupu racionalnih brojeva proučiti zakone operacije [inlmath]\circ[/inlmath] definisane relacijom :
a) [inlmath]x\circ y{\color{red}=x+2y}[/inlmath]
b) [inlmath]x\circ y={x+y\over1-xy}[/inlmath]

Mala ispravka samo za slucaj pod a), nisam stavio cemu je jednak rezultat operacije.
Da li i za taj slucaj, operacija nije definisana?

Hvala na odgovoru naravno.

maxaa je napisao:

1. Na skupu racionalnih brojeva proučiti zakone operacije [inlmath]\circ[/inlmath] definisane relacijom :
a) [inlmath]x\circ y{\color{red}=x+2y}[/inlmath]
b) [inlmath]x\circ y={x+y\over1-xy}[/inlmath]

Mala ispravka samo za slucaj pod a), nisam stavio cemu je jednak rezultat operacije.
Da li i za taj slucaj, operacija nije definisana?

Racionalan broj pomnožen dvojkom je takođe racionalan broj, pa je i [inlmath]2y[/inlmath] racionalan broj. A pošto je i zbir dva racionalna broja takođe racionalan broj, tako će i [inlmath]x+2y[/inlmath] biti racionalan broj, što znači da u tom slučaju [inlmath]\circ[/inlmath] jeste binarna operacija.

Ili, formalnije zapisano, pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] racionalni brojevi, oni se mogu zapisati kao
[dispmath]x=\frac{k}{l},\;y=\frac{m}{n},\quad k,l,m,n\in\mathbb{Z},\quad l,n\ne 0[/dispmath]
a zbir [inlmath]x+2y[/inlmath] kao
[dispmath]x+2y=\frac{k}{l}+2\cdot\frac{m}{n}=\frac{nk+2lm}{l\cdot n}[/dispmath]
Pošto [inlmath]k,l,m,n\in\mathbb{Z}[/inlmath], tada i [inlmath]nk+2lm\in\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]l\cdot n\in\mathbb{Z}[/inlmath], a pošto je [inlmath]l,n\ne 0[/inlmath], tada i njihov proizvod [inlmath]l\cdot n\ne 0[/inlmath], tako da je razlomak [inlmath]\frac{nk+2lm}{ln}[/inlmath] uvek definisan i uvek predstavlja količnik dva cela broja, što znači da je njegova vrednost, a samim tim i rezultat operacije [inlmath]\circ[/inlmath], uvek racionalan broj.

maxaa je napisao:3. Ako moze ukratko objasnjenje, sta se zapravo radi kod minimizacije aksioma grupe, tj sta se zapravo dobija time?

Prvi put čujem za taj pojam. Da nije to možda neki interni izraz koji vaš profesor koristi? Možeš li da daš neki primer primene te minimizacije?

maxaa je napisao:4. Dat je skup [inlmath]\mathbb G=\left\{\left.x-y\sqrt 5\;\right|\;(x,y\in\mathbb Q)\;x^2-5y^2=1\right\}[/inlmath] Dokazati da je uredjeni par [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath], gde je [inlmath]\circ[/inlmath] operacija mnozenja realnih brojeva.

Kod ovog zadatka mi nije bas najjasnija formulacija ovog skupa [inlmath]\mathbb G[/inlmath], sta to zapravo znaci i dokazivanje zatvorenosti skupa, na kraju kada se dokazuje ovaj drugi izraz dobije se rezultat [inlmath]\left(x^2-5y^2\right)\cdot\left(u^2-5v^2\right)[/inlmath] a iz toga [inlmath]1\cdot 1=1[/inlmath] e sad mi nije jasno zasto mora da znaci da je druga zagrada jednaka jedinici i sta je time zapravo dokazano.

Prvo, rečenica „Dokazati da je uredjeni par [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath], gde je [inlmath]\circ[/inlmath] operacija mnozenja realnih brojeva“ je nepotpuna. Pretpostaviću da treba da stoji „Dokazati da je uredjeni par [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath] grupa, gde je [inlmath]\circ[/inlmath] operacija mnozenja realnih brojeva“, budući da se onaj postupak koji si kasnije napisao upravo i odnosi na grupu.

Znači, radi dokazivanja zatvorenosti, potrebno je pokazati da se primenom operacije [inlmath]\circ[/inlmath] na dva elementa skupa [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath] dobije rezultat koji takođe pripada skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath]. Jedan element skupa obeležimo sa [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath], a drugi sa [inlmath]u-v\sqrt 5[/inlmath], pri čemu je [inlmath]x,y,u,v\in\mathbb{Q}[/inlmath] i [inlmath]x^2-5y^2=1[/inlmath] i [inlmath]u^2-5v^2=1[/inlmath]. To su sve uslovi da bi elementi [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath] i [inlmath]u-v\sqrt 5[/inlmath] pripadali skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath]. I onda na njih primenimo operaciju [inlmath]\circ[/inlmath], koja je, zapravo, množenje realnih brojeva:
[dispmath]\left(x-y\sqrt 5\right)\circ\left(u-v\sqrt 5\right)=\left(x-y\sqrt 5\right)\cdot\left(u-v\sqrt 5\right)=\underbrace{xu+5yv}_a-\underbrace{\left(xv+yu\right)}_b\sqrt 5=a-b\sqrt 5[/dispmath][dispmath]a=xu+5yv[/dispmath][dispmath]b=xv+yu[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x,y,u,v\in\mathbb{Q}[/inlmath], tada i [inlmath]xu+5yv\in\mathbb{Q}[/inlmath] i [inlmath]xv+yu\in\mathbb{Q}[/inlmath], tj. i [inlmath]a,b\in\mathbb{Q}[/inlmath], tako da je taj uslov pripadnosti [inlmath]a-b\sqrt 5[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath] zadovoljen. Treba još dokazati da važi i [inlmath]a^2-5b^2=1[/inlmath], jer je to drugi uslov pripadnosti [inlmath]a-b\sqrt 5[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath].
[dispmath]a^2-5b^2=\left(xu+5yv\right)^2-5\left(xv+yu\right)^2=x^2u^2+\cancel{10xyuv}+25y^2v^2-5x^2v^2-\cancel{10xyuv}-5y^2u^2=[/dispmath][dispmath]=x^2u^2-5x^2v^2+25y^2v^2-5y^2u^2=x^2\left(u^2-5v^2\right)-5y^2\left(u^2-5v^2\right)=\left(x^2-5y^2\right)\left(u^2-5v^2\right)[/dispmath]
a pošto smo prilikom izbora [inlmath]x,y,u,v[/inlmath] postavili uslov da je [inlmath]x^2-5y^2=1[/inlmath] i [inlmath]u^2-5v^2=1[/inlmath] (kako bi bio ostvaren uslov pripadnosi [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath] i [inlmath]u-v\sqrt 5[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath]), tada je proizvod [inlmath]\left(x^2-5y^2\right)\left(u^2-5v^2\right)[/inlmath] jednak [inlmath]1\cdot 1[/inlmath], a to je [inlmath]1[/inlmath], što je i trebalo pokazati.

maxaa je napisao:Takodje mi nije jasan princip dokazivanja neutralnog elementa i inverza, jer se primenjuju oba izraza iz skupa.

Pošto [inlmath]\circ[/inlmath] predstavlja klasično množenje, neutralni element za tu operaciju biće isti kao i neutralni element za množenje, a to je jedinica, pod uslovom da jedinica ispunjava uslove pripadnosti skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath] – da se može zapisati u obliku [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath] gde je [inlmath]x,y\in\mathbb{Q}[/inlmath] i [inlmath]x^2-5y^2=1[/inlmath], što treba proveriti:
[dispmath]x-y\sqrt 5=1\quad\Leftrightarrow\quad x=1,\;y=0[/dispmath][dispmath]1,\;0\in\mathbb{Q}[/dispmath][dispmath]x^2-5y^2=1^2-5\cdot 0^2=1[/dispmath]
Prema tome, jedinica jeste neutralni element. S obzirom na teoremu o jedinstvenosti neutralnog elementa unutar grupe, nema potrebe proveravati postojanje ostalih neutralnih elemenata.

---

Može se raditi i na ovaj (duži) način:
[dispmath]\left(x-y\sqrt 5\right)\left(e_1-e_2\sqrt 5\right)=x-y\sqrt 5[/dispmath][dispmath]xe_1+5ye_2-\left(xe_2+ye_1\right)\sqrt 5=x-y\sqrt 5[/dispmath][dispmath]xe_1+5ye_2=x\\
xe_2+ye_1=y[/dispmath][dispmath]5ye_2=x\left(1-e_1\right)\\
xe_2=y\left(1-e_1\right)[/dispmath]
Ovaj sistem će biti zadovoljen za svako [inlmath]x[/inlmath] i za svako [inlmath]y[/inlmath] onda i samo onda kada je [inlmath]e_2=0[/inlmath] i [inlmath]1-e_1=0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]e_1=1,\;e_2=0[/inlmath], tako da je neutralni element [inlmath]e_1-e_2\sqrt 5=1-0\cdot\sqrt 5=1[/inlmath]. Zatim je još potrebno proveriti pripadnost jedinice skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath], istim postupkom kao u prethodno pokazanom načinu određivanja neutralnog elementa.

---

Inverzni element označimo sa [inlmath]u-v\sqrt 5[/inlmath] i postavimo jednačinu:
[dispmath]\left(x-y\sqrt 5\right)\left(u-v\sqrt 5\right)=1[/dispmath][dispmath]xu+5yv-\left(xv+yu\right)\sqrt 5=1[/dispmath][dispmath]xu+5yv=1\\
xv+yu=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad v=-\frac{yu}{x}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad xu+5yv=xu-5y\cdot\frac{yu}{x}=1\quad /\cdot x[/dispmath][dispmath]x^2u-5y^2u=x[/dispmath][dispmath]\underbrace{\left(x^2-5y^2\right)}_1u=x[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{u=x}[/dispmath]
Uvrstimo [inlmath]u=x[/inlmath] u [inlmath]v=-\frac{yu}{x}[/inlmath]:
[dispmath]v=-\frac{y\cancel x}{\cancel x}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{v=-y}[/dispmath]
Prema tome, inverzni element elementa [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath] je [inlmath]u-v\sqrt 5=x+y\sqrt 5[/inlmath].
Treba još dokazati njegovu pripadnost skupu [inlmath]\mathrm{G}[/inlmath]. Pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] racionalni brojevi, tada su i [inlmath]u=x[/inlmath] i [inlmath]v=-y[/inlmath] takođe racionalni brojevi.
[inlmath]u^2-5v^2=1[/inlmath] se vrlo lako dokazuje:
[dispmath]u^2-5v^2=x^2-5\left(-y\right)^2=x^2-5y^2=1[/dispmath]

---

Postoji i „prečica“ za određivanje inverznog elementa, tako što se uslov pripadnosti skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath] koji glasi [inlmath]x^2-5y^2=1[/inlmath], razloži kao razlika kvadrata:
[dispmath]x^2-5y^2=\left(x-y\sqrt 5\right)\left(x+y\sqrt 5\right)=1[/dispmath]
odakle odmah vidimo da je [inlmath]x+y\sqrt 5[/inlmath] inverzni element elementa [inlmath]x-y\sqrt 5[/inlmath], a ostali uslovi njegove pripadnosti skupu [inlmath]\mathbb{G}[/inlmath] pokazuju se na isti način kao što je malopre napisano. S obzirom na teoremu o jedinstvenosti inverznog elementa, nije potrebno ispitivati postojanje ostalih inverznih elemenata.

---

Ostali su još 5. i 6. zadatak... 'Oće neko?

Pre nego što nastavim (pošto očigledno nema zainteresovanih da se uključe), podsetio bih sve članove ovog foruma, a posebno one koji od istog očekuju pomoć u nekoj budućnosti, na tačku 7. Pravilnika.

maxaa je napisao:5. Operacija [inlmath]\circ[/inlmath] je definisana sa [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay-a^2+a,\;a\in\mathbb R[/inlmath].
a) Ispitati da li je operacija [inlmath]\circ[/inlmath] unutrasnja operacija na skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\{a\}[/inlmath].
b) U zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath] ispitati prirodu strukture [inlmath](\mathbb R\setminus\{a\},\circ)[/inlmath].

Ovde sam dokazao da je [inlmath]\circ[/inlmath] unutrasnja operacija, mednjutim nije mi jasan zadatak pod b) jer sam prilikom dokazivanja dobio da mi je [inlmath]x=a\lor y=a[/inlmath], tj nemam konkretnu vrednost za parametar.

Operacija [inlmath]\circ[/inlmath] neće za svaku vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] biti unutrasnja operacija, a navešću i kontraprimer. Recimo da je [inlmath]a=1[/inlmath], što znači da posmatramo skup [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{1\right\}[/inlmath], a izraz za operaciju [inlmath]x\circ y[/inlmath] se svodi na [inlmath]xy-x-y[/inlmath]. Tada ćemo npr. za vrednosti [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]y=2[/inlmath] imati:
[dispmath]x\circ y=3\circ 2=3\cdot 2-3-2=6-3-2=1[/dispmath]
tj. dobili smo da rezultat operacije ne pripada skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{1\right\}[/inlmath], što znači da [inlmath]\circ[/inlmath] nije unutrašnja operacija za tu vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath].

Ne znam na koji si način dobio da je [inlmath]x=a\lor y=a[/inlmath], ali ovde nije cilj naći [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] za koje će operacija [inlmath]\circ[/inlmath] dati rezultat koji pripada posmatranom skupu, jer operacija, da bi bila unutrašnja, mora za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz posmatranog skupa da dâ vrednost koja pripada posmatranom skupu. Zbog toga treba tražiti vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje je to zadovoljeno, a ne tražiti vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].

A to bi se radilo na sledeći način. Pošto je operacija [inlmath]\circ[/inlmath] definisana nad skupom [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{a\right\}[/inlmath], znači da njen rezultat ne sme biti [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]x\circ y\ne a\\
xy-ax-ay-a^2+\cancel a\ne\cancel a\\
x\left(y-a\right)\ne a\left(y+a\right)\\
x\ne\frac{a\left(y+a\right)}{y-a}[/dispmath]
Zbog pripadnosti [inlmath]y[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{a\right\}[/inlmath], imenilac ne može biti nula, tako da je vrednost razlomka [inlmath]\frac{a\left(y+a\right)}{y-a}[/inlmath] uvek definisana. S obzirom na pripadnost [inlmath]x[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{a\right\}[/inlmath], jedina vrednost koju [inlmath]x[/inlmath] ne može imati je [inlmath]a[/inlmath], tako da će [inlmath]x\ne\frac{a\left(y+a\right)}{y-a}[/inlmath] biti uvek zadovoljeno onda kada je desna strana jednaka [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel a\left(y+a\right)}{y-a}=\cancel a\\
\cancel y+a=\cancel y-a\\
2a=0\\
\underline{a=0}[/dispmath]
U ovom postupku sam tražio uslov da [inlmath]x[/inlmath] ne pripada skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{a\right\}[/inlmath]. S obzirom na simetričnost [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u izrazu za operaciju, [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay-a^2+a[/inlmath], do istog se zaključka dolazi i prilikom traženja uslova da [inlmath]y[/inlmath] ne pripada tom skupu.

Prema tome, za [inlmath]a=0[/inlmath] će operacija [inlmath]\circ[/inlmath] biti unutrašnja na skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{a\right\}[/inlmath]. Za [inlmath]a\ne 0[/inlmath], ta operacija neće biti unutrašnja na tom skupu.

I zaista, za [inlmath]a=0[/inlmath], posmatrani skup bi bio [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{0\right\}[/inlmath], a operacija [inlmath]x\circ y[/inlmath] se svodi na standardno množenje, [inlmath]x\cdot y[/inlmath]. Budući da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ne mogu biti nule (zbog pripadnosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] skupu [inlmath]\mathbb R\setminus\left\{0\right\}[/inlmath]), ne može biti nula ni njihov proizvod, pa zaključujemo da rezultat operacije uvek pripada posmatranom skupu, tj. da je operacija [inlmath]\circ[/inlmath] unutrašnja za slučaj [inlmath]a=0[/inlmath].

Dalje je, za [inlmath]a=0[/inlmath], lako ispitati i strukturu grupe [inlmath]\left(\mathbb R\setminus\left\{0\right\},\circ\right)[/inlmath], budući da se tada operacija [inlmath]\circ[/inlmath] svodi na obično množenje nad realnim brojevima različitim od nule – očigledno je da je tada to Abelova grupa. Za [inlmath]a\ne 0[/inlmath], ta struktura je, zbog nezadovoljenog prvog uslova zatvorenosti operacije – samo struktura i ništa više. Nije ni grupa, ni semigrupa, ni grupoid.

maxaa je napisao:6.Zadatak kaze: Ako je [inlmath]\mathbb G=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}[/inlmath], a operacija [inlmath]\circ[/inlmath] definisana kao sabiranje po modulu [inlmath]p[/inlmath], dokazati da je [inlmath](\mathbb G,\circ)[/inlmath] Abelova grupa.

Ovde mi nije jasan dokaz asocijativnosti koji kaze [dispmath](\forall a,b,c\in\mathbb G)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\\a+b=k\cdot p+(a\circ b)\\(a,b,c\in\mathbb G)\\(a+b)+c=a+(b+c)[/dispmath] pa se dalje nastavlja dokazivanje na sirem skupu itd sta predstavlja i odakle se pojavio izraz [inlmath]a+b=k\cdot p+(a\circ b)[/inlmath]?

Uzmi ovakav primer: ako je sada [inlmath]21\mbox{ h}[/inlmath], koliko će sati biti kroz [inlmath]74\mbox{ h}[/inlmath]?
Da bi izračunao koliko će sati biti kroz [inlmath]74\mbox{ h}[/inlmath], ti ćeš izvršiti sabiranje po modulu [inlmath]24[/inlmath]. Zašto [inlmath]24[/inlmath] – pa, zato što jedan dan ima [inlmath]24[/inlmath] sata. Tebe ne interesuje koji će dan biti kroz [inlmath]74\mbox{ h}[/inlmath], jer se u pitanju to ne traži, traži se samo koliko će biti sati kroz [inlmath]74\mbox{ h}[/inlmath].
Intuitivno bismo to radili ovako:
[dispmath]21+74=21+\left(3\cdot 24+2\right)\\
21+74=3\cdot 24+\left(21+2\right)\\
21+74=3\cdot 24+23[/dispmath]
Dakle, intuitivno ćemo tražiti koliko se puta [inlmath]24[/inlmath] sadrži u [inlmath]74[/inlmath], a ona [inlmath]2\mbox{ h}[/inlmath] koja preostanu (kao ostatak pri deljenju [inlmath]74[/inlmath] sa [inlmath]24[/inlmath]) dodaćemo na [inlmath]21\mbox{ h}[/inlmath] i dobićemo [inlmath]23\mbox{ h}[/inlmath] kao odgovor na pitanje.
Znači, u jednakosti [inlmath]21+74=3\cdot 24+23[/inlmath], leva strana, [inlmath]21+74[/inlmath], označavala bi standardno sabiranje, [inlmath]3\cdot 24[/inlmath] označavao bi celobrojni umnožak broja časova u jednom danu (trojka tu označava da će za ova [inlmath]74\mbox{ h}[/inlmath] proći tri puna dana), a [inlmath]23[/inlmath] bi bio rezultat operacije sabiranja [inlmath]21[/inlmath] i [inlmath]74[/inlmath] po modulu [inlmath]24[/inlmath]. Znači, [inlmath]21\star 74=23[/inlmath].
Tako da, prethodnu jednakost možemo napisati i kao
[dispmath]21+74=3\cdot 24+\left(21\star 74\right)[/dispmath]
E, isto to su oni radili u rešenju kada su napisali [inlmath]a+b=k\cdot p+\left(a\circ b\right)[/inlmath]. I odatle se dobije [inlmath]a\circ b=a+b-k\cdot p[/inlmath].

maxaa je napisao:I ako moze savet, na sta obratiti paznju kod zatataka koji imaju sabiranje/mnozenje po modulu.

Da ne pogrešiš.
Šalim se, ne bi' ti znao reći neki konkretan savet. Isto kao i za ostale zadatke – što više takvih provežbanih primera.

Pocecu od ovog zadatka, jer sam tu prvo primetio da sam napravio gresku:

5. Operacija [inlmath]\circ[/inlmath] je definisana sa [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay{\color{red}-a^2}+a,\;a\in\mathbb R[/inlmath]

Umesto minusa je trebao da stoji znak plus a izraz glasi: [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a[/inlmath]. Izvinjavam se na previdu.

Kao dokaz samo koristio zakon superpozicije [inlmath](p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\neg q\Rightarrow\neg p)[/inlmath].

Javljam se kad nadjem ostale nedoumice (ako ih bude)..

Ostalo je sve jasno kao dan.
Hvala na odgovorima.

Sto se tice minimizacije askioma grupe, na predavanju nam je nesto receno o tome a ono sto sam zapisao izgleda ovako:
(Uz primenu pravila tj definicije grupe (zatvorenost, asocijativnost, neutral inverz))
[dispmath]x\circ x^\star=e^\star\\
x\circ x^\star=e^\star\circ\left(x\circ x^\star\right)=\left(x^{\star\star}\circ x^\star\right)\circ\left(x\circ x^\star\right)=x^{\star\star}\circ\left(x^\star\circ x\right)\circ x^\star=x^{\star\star}\circ\left(e^\star\circ x^\star\right)=x^{\star\star}\circ x^\star=e^\star[/dispmath][dispmath](\forall\in\mathbb G)\:x\circ e^\star =x\circ\left(x^\star\circ x\right)=\left(x\circ x^\star\right)\circ x=e^\star\circ x=x[/dispmath]
Uz ovo nam je receno da ako radimo/dokazujemo preko ovoga moramo to striktno da naglasimo u zadatku.
Koliko ovo skracuje posao i da li je korisno ja stvarno ne znam

maxaa je napisao:Umesto minusa je trebao da stoji znak plus a izraz glasi: [inlmath]x\circ y=xy-ax-ay+a^2+a[/inlmath]. Izvinjavam se na previdu.

Pa, dobro. Bar sam pokazao i šta bi bilo kada bi na tom mestu stajao minus, što je slučaj koji mi se, što se tiče ispitivanja zatvorenosti operacije [inlmath]\circ[/inlmath], čini prilično interesantnijim od slučaja s plusom.

maxaa je napisao:Kao dokaz samo koristio zakon superpozicije [inlmath](p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\neg q\Rightarrow\neg p)[/inlmath].

Ne znam koji si iskaz tu uzeo za [inlmath]p[/inlmath] a koji za [inlmath]q[/inlmath], al' ja bih to ovako radio:
[dispmath]x\circ y\ne a\\
xy-ax-ay+a^2+\cancel a\ne\cancel a\\
xy-ax\ne ay-a^2\\
x\left(y-a\right)\ne a\left(y-a\right)[/dispmath]
Pošto [inlmath]y\in\mathbb{R}\setminus\left\{a\right\}[/inlmath], znači da [inlmath]y[/inlmath] ne može biti [inlmath]a[/inlmath], odakle sledi da [inlmath]\left(y-a\right)[/inlmath] ne može biti nula, tako da možemo skratiti [inlmath]\left(y-a\right)[/inlmath] na levoj i na desnoj strani, nakon čega dobijamo:
[dispmath]x\ne a[/dispmath]
što je uvek ispunjeno, budući da i [inlmath]x[/inlmath] pripada [inlmath]\mathbb{R}\setminus\left\{a\right\}[/inlmath]. Odatle sledi i da je uvek ispunjeno to da rezultat operacije [inlmath]x\circ y[/inlmath] nije jednak [inlmath]a[/inlmath], tj. da [inlmath]\circ[/inlmath] jeste unutrašnja operacija.

---

Dokazivanje asocijativnosti i nalaženje neutralnog i inverznog elementa ide sasvim rutinski. Nemaš konkretnu vrednost za [inlmath]a[/inlmath], ali ti i nije potrebna – asocijativnost dokazuješ za neko opšte [inlmath]a[/inlmath], neutralni element izraziš u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath], a inverzni element elementa [inlmath]x[/inlmath] izraziš u zavisnosti od elementa [inlmath]x[/inlmath] i parametra [inlmath]a[/inlmath].

Za asocijativnost postaviš jednakost koju treba dokazati:
[dispmath]x\circ\left(y\circ z\right)=\left(x\circ y\right)\circ z[/dispmath]
pri čemu umesto svake operacije [inlmath]\circ[/inlmath] uvrstiš izraz kojim je ona definisana. Posle sređivanja, dobićeš kobasicu na levoj i kobasicu na desnoj strani, čiji će se sabirci međusobno poskraćivati, čime ćeš dokazati da je jednakost tačna, tj. da asocijativnost važi.

---

Radi nalaženja neutralnog elementa, postaviš jednačinu
[dispmath]x\circ e=x[/dispmath]
u koju umesto operacije [inlmath]\circ[/inlmath] uvrstiš izraz kojim je definisana, dakle,
[dispmath]xe-ax-ae+a^2+a=x[/dispmath]
i onda rešiš tu jednačinu po [inlmath]e[/inlmath]. Treba da dobiješ da je [inlmath]e=a+1[/inlmath]. Pošto je neutralni element očigledno različit od [inlmath]a[/inlmath], time je dokazano da on pripada posmatranom skupu [inlmath]\mathbb{R}\setminus\left\{a\right\}[/inlmath].

---

Inverzni element nađeš tako što postaviš jednačinu
[dispmath]x\circ x^{-1}=e=a+1[/dispmath]
odakle treba da dobiješ da je [inlmath]x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]x\ne a[/inlmath], vrednost razlomka je uvek definisana, a pošto vrednost razlomka ne može biti nula, sledi da ni vrednost inverznog elementa ne može biti [inlmath]a[/inlmath], odakle zaključujemo da za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{a\right\}[/inlmath] njegov inverzni element pripada skupu [inlmath]\mathbb{R}\setminus\left\{a\right\}[/inlmath].

---

Ne treba zaboraviti i to, da zbog simetrije izraza za [inlmath]\circ[/inlmath] operaciju, [inlmath]xy-ax-ay+a^2+a[/inlmath], u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], sledi da je [inlmath]x\circ y=y\circ x[/inlmath], što, uz sve prethodno dokazane osobine, posmatranu strukturu čini Abelovom grupom za sve vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath].

maxaa je napisao:Sto se tice minimizacije askioma grupe, na predavanju nam je nesto receno o tome a ono sto sam zapisao izgleda ovako:
(Uz primenu pravila tj definicije grupe (zatvorenost, asocijativnost, neutral inverz))
[dispmath]x\circ x^\star=e^\star\\
x\circ x^\star=e^\star\circ\left(x\circ x^\star\right)=\left(x^{\star\star}\circ x^\star\right)\circ\left(x\circ x^\star\right)=x^{\star\star}\circ\left(x^\star\circ x\right)\circ x^\star=x^{\star\star}\circ\left(e^\star\circ x^\star\right)=x^{\star\star}\circ x^\star=e^\star[/dispmath][dispmath](\forall\in\mathbb G)\:x\circ e^\star =x\circ\left(x^\star\circ x\right)=\left(x\circ x^\star\right)\circ x=e^\star\circ x=x[/dispmath]

Aha, koliko vidim, pod time se podrazumevaju one „redukovane“ aksiome grupe, koje se, za razliku od standardnih aksioma o neutralnom i inverznom elementu, [inlmath]e\circ x=x\circ e=x[/inlmath] i [inlmath]x^{-1}\circ x=x\circ x^{-1}=e[/inlmath], odnose samo na postojanje levog neutralnog elementa ([inlmath]e\circ x=x[/inlmath]) i levog inverznog elementa ([inlmath]x^{-1}\circ x=e[/inlmath]), iz čega je, zatim, moguće naknadno dokazati da, ukoliko važi asocijativnost, postoji i desni neutral i desni inverz.

Znači, u tom postupku, polazi se od toga da je poznato [inlmath]e\circ x=x[/inlmath] (levi neutral) i [inlmath]x^{-1}\circ x=e[/inlmath] (levi inverz), iz čega se prvo dokazuje postojanje desnog inverza, a zatim se, na osnovu postojanja levog neutrala i levog i desnog inverza, dokazuje i postojanje desnog neutrala.