MATEMANIJA

Na skupu [inlmath]A=\{1,2,3\}[/inlmath] ispitati osobine binarnih relacija:
a) [inlmath]\rho_1=\{(1,1),(1,2),(1,3)\}[/inlmath]
b) [inlmath]\rho_2=\{(1,2),(2,1)\}[/inlmath]
c) [inlmath]\rho_3=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}[/inlmath]
Pod a) refleksivnost nije jer nemamo [inlmath](2,2),(3,3)[/inlmath] , a zašto nije simetrično, zašto je antisimetrično i zašto je tranzitivno? (Imam gotova rešenja, pa zato pitam).
Pod b) jasno je da je S, a nije R, ni A niti T.
Pod c) je refleksivno, simetrično, ali zašto je tranzitivno?

a) Simetricno nije jer to zahteva da bude
[dispmath](\forall x,y)(x,y\in\mathbb{X})\;x\rho y\Rightarrow y\rho x[/dispmath]
Kako recimo ne vazi [inlmath]1\rho 3\Rightarrow 3\rho 1[/inlmath] relacija nije simetricna.

Asimetricnost zahteva:
[dispmath](\forall x,y)(x,y\in\mathbb{X})\;x\rho y\land y\rho x\Rightarrow x=y[/dispmath]
Ovde to vazi jer ne postoji nijedna obostrana povezanost razlicitih [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tj. da je i [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath]. Jedino [inlmath](1,1)[/inlmath] odgovara, a tada i jeste [inlmath]x=y[/inlmath].

Tranzitivnost podrazumeva:
[dispmath](\forall x,y,z)(x,y,z\in\mathbb{X})\;x\rho y\land y\rho z\Rightarrow x\rho z[/dispmath]
Uslov da je [inlmath]x\rho y\land y\rho z[/inlmath] ispunjavaju trojke [inlmath](1,1,1);\;(1,1,2);\;(1,1,3)[/inlmath], i za sve tri vazi gore data implikacija.

Slicno ide i pod b) i c), samo primeni ove logicke formule...