MATEMANIJA

Dokazati skupovnu jednakost:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Ovaj izraz je tačan ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A[/inlmath]. Kako onda ovo dokazati, kad ovo zavisi od slučaja do slučaja. Ovo nije neka pravilnost. Možda je greška u formulisanju zadatka, ali tekst ovako glasi doslovce.

Po definiciji preseka, [inlmath]A\cap B=\{x\;|\;x\in A\land x\in B\}[/inlmath], vidimo da će se on sadržati u skupu [inlmath]A[/inlmath] tj. [inlmath]A\cap B\subseteq A[/inlmath]. Unija skupa sa svojim nadskupom je sam nadskup ([inlmath]S\subseteq T\iff S\cup T=T[/inlmath]).

Jednakost koju si naveo ilustruje jedan od zakona apsorpcije.

Može se dokazati i pomoću definicija unije i preseka, uz pomoć zakona apsorpcije logičkih operatora (koji se dokazuje pomoću tabele...).

Kad god te zbunjuju ovakve stvari, uvek nacrtaj Venov dijagram.

Na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen skup [inlmath]A[/inlmath]:


A na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]A\cap B[/inlmath]:


I, više je nego očigledno šta će biti unija žute oblasti na prvoj slici i žute oblasti na drugoj slici – biće sâm skup [inlmath]A[/inlmath], dabome.

Da, video sam i ja da je tako, bezveze sam se zbunio. Nego me interesuje da li može ovako crtežom da se dokaže?

Mislim da ne bi bilo priznato. Slika ti samo pomaže da stekneš vizelnu predstavu zašto je to tako, a dokaz se obično zahteva da se izvede iz formalnih definicija.

Imam slican zadatak. Potrebno je dokazati skupovnu jednakost
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
nisam bas u toku sa materijom, a postavljam pitanje za drugara, pa ako je neko voljan da napise dokaz bio bih zahvalan.

Slično se i dokazuje (ovo su zaista trivijalni dokazi). Po zakonu distribucije:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup C[/dispmath]
Pošto presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skup [inlmath]C[/inlmath], pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]C\subseteq A[/inlmath]), zaključujemo da važi:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]

Hvala.

Možda nije loše dodati i ovo:
U algebri (posebno Bulovoj algebri (George Boole)) smatra se da su operacije unije i preseka (u anglosaksonskoj literaturi a i u logici poznate kao "cup" i "cap", tj. "šolja" i "kapa") potpuno ravnopravne, a to znači da prolazi kako presek kroz uniju (u zagradi), tako i obrnuto. Oba navedena iskaza:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath][dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
poznati su odvajkada. Kao što reče Ubavic, kaže se apsorpcija za ovo. U tesnoj vezi s navedenim je i osobina idempotentnosti (ista moć):
[dispmath]A\cup A=A[/dispmath][dispmath]A\cap A=A[/dispmath]

Mi smo u skoli to dokazivali preko istinitosnih tablica.
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Pa sada na osnovu definicja preseka i unije imamo:
[dispmath]x\in A\;\lor\;(x\in A\;\land\;x\in B)\;\iff\;x\in A[/dispmath]
I sad stavimo [inlmath]p=x\in A,\;q=x\in B[/inlmath]
[dispmath]p\;\lor\;(p\;\land\;q)\;\iff\;p[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{cc|ccc@{}ccc@{}ccc}
p & q & p & \lor & ( & p & \land & q &) & \leftrightarrow & p\\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & & \mathbf{1} & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 1 & & \mathbf{1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 0
\end{array}[/dispmath]
I vidimo da se ispod [inlmath]\iff[/inlmath] javljaju sve vrednosti kao tacne, pa zakljucujemo da formula uvek vazi.