MATEMANIJA

Dokazati skupovnu jednakost:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Ovaj izraz je tačan ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A[/inlmath]. Kako onda ovo dokazati, kad ovo zavisi od slučaja do slučaja. Ovo nije neka pravilnost. Možda je greška u formulisanju zadatka, ali tekst ovako glasi doslovce.

Po definiciji preseka, [inlmath]A\cap B=\{x\;|\;x\in A\land x\in B\}[/inlmath], vidimo da će se on sadržati u skupu [inlmath]A[/inlmath] tj. [inlmath]A\cap B\subseteq A[/inlmath]. Unija skupa sa svojim nadskupom je sam nadskup ([inlmath]S\subseteq T\iff S\cup T=T[/inlmath]).

Jednakost koju si naveo ilustruje jedan od zakona apsorpcije.

Može se dokazati i pomoću definicija unije i preseka, uz pomoć zakona apsorpcije logičkih operatora (koji se dokazuje pomoću tabele...).

Kad god te zbunjuju ovakve stvari, uvek nacrtaj Venov dijagram.

Na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen skup [inlmath]A[/inlmath]:


A na sledećem Venovom dijagramu žutom bojom je označen presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]A\cap B[/inlmath]:


I, više je nego očigledno šta će biti unija žute oblasti na prvoj slici i žute oblasti na drugoj slici – biće sâm skup [inlmath]A[/inlmath], dabome.

Da, video sam i ja da je tako, bezveze sam se zbunio. Nego me interesuje da li može ovako crtežom da se dokaže?

Mislim da ne bi bilo priznato. Slika ti samo pomaže da stekneš vizelnu predstavu zašto je to tako, a dokaz se obično zahteva da se izvede iz formalnih definicija.

Imam slican zadatak. Potrebno je dokazati skupovnu jednakost
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
nisam bas u toku sa materijom, a postavljam pitanje za drugara, pa ako je neko voljan da napise dokaz bio bih zahvalan.

Slično se i dokazuje (ovo su zaista trivijalni dokazi). Po zakonu distribucije:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=(A\cap A)\cup(A\cap B)=A\cup C[/dispmath]
Pošto presek skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], skup [inlmath]C[/inlmath], pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] ([inlmath]C\subseteq A[/inlmath]), zaključujemo da važi:
[dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]

Hvala.

Možda nije loše dodati i ovo:
U algebri (posebno Bulovoj algebri (George Boole)) smatra se da su operacije unije i preseka (u anglosaksonskoj literaturi a i u logici poznate kao "cup" i "cap", tj. "šolja" i "kapa") potpuno ravnopravne, a to znači da prolazi kako presek kroz uniju (u zagradi), tako i obrnuto. Oba navedena iskaza:
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath][dispmath]A\cap(A\cup B)=A[/dispmath]
poznati su odvajkada. Kao što reče Ubavic, kaže se apsorpcija za ovo. U tesnoj vezi s navedenim je i osobina idempotentnosti (ista moć):
[dispmath]A\cup A=A[/dispmath][dispmath]A\cap A=A[/dispmath]

Mi smo u skoli to dokazivali preko istinitosnih tablica.
[dispmath]A\cup(A\cap B)=A[/dispmath]
Pa sada na osnovu definicja preseka i unije imamo:
[dispmath]x\in A\;\lor\;(x\in A\;\land\;x\in B)\;\iff\;x\in A[/dispmath]
I sad stavimo [inlmath]p=x\in A,\;q=x\in B[/inlmath]
[dispmath]p\;\lor\;(p\;\land\;q)\;\iff\;p[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{cc|ccc@{}ccc@{}ccc}
p & q & p & \lor & ( & p & \land & q &) & \leftrightarrow & p\\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & & \mathbf{1} & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 1 & & \mathbf{1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 & 0 & & \mathbf{1} & 0
\end{array}[/dispmath]
I vidimo da se ispod [inlmath]\iff[/inlmath] javljaju sve vrednosti kao tacne, pa zakljucujemo da formula uvek vazi.

@Trogao,
tvoja tablica je korektna, mada za moj ukus malo preopširna (po nekoliko ponavljanja kolona).
No ako ste tako radili, ako je tako zahtevano, samo napred, nema tu greške.
Dodao bih jedino još da se takav iskaz (koji je tačan za svaku vrednost parametara iskazne formule) u matematičkoj logici naziva tautologija.

Nisam rucno pravio tablicu. Ukucao sam formulu u jedna od onih onaline generatora istinitosnih tablica za latex a ima ih nekoliko. Ni meni se ne dopada kako izgleda, ali me mrzelo da trazim drugi. Ovo je posluzilo svrsi.

A kako bi dokazali [inlmath](A\setminus B)\cap B=\emptyset[/inlmath] preko Venovog dijagrama?

Siguran sam da će neko i nacrtati preko Venovog dijagrama.
Ja ne bih za sada, ali bih želeo da pojasnim ovo tvoje rečima:
[dispmath](A\setminus B)\cap B=\emptyset[/dispmath]
[inlmath]A[/inlmath] bez [inlmath]B[/inlmath] sečeno sa [inlmath]B[/inlmath] nema tu ništa

Ja sam odradio preko Venovog, a trebalo je dokazati skupovnu jednakost. Jasno mi je da nema nista, ali to sam trebao dokazati.

A kako bi matematicki dokazao bez Venovog?

Dokaz preko slike ili pozivanje na "ociglednost " se u matematici ne tolerise. Slika je tu samo da ti nagovesti mogucnosti ili cak da resenje, ali ona sama nije dovoljno pouzdana.
Definicije:
[dispmath]A\setminus B\;\iff\;(\forall{x})\{x\;|\;x\in A\;\land\;x\notin B\}[/dispmath][dispmath]A\cap B\;\iff\;(\forall{x})\{x\;|\;x\in A\;\land\;x\in B\}[/dispmath][dispmath]A=B\;\iff\;(\forall{x})\{x\;|\;x\in A\;\iff\;x\in B\}[/dispmath]
Pa imamo:
[dispmath](x\in A\;\land\;x\notin B)\;\land\;x\in B\;\iff\;x\in\emptyset[/dispmath]
Stavimo [inlmath]p=x\in A,\;q=x\notin B,\;r=\neg q,\;s=x\in\emptyset=0[/inlmath]
[dispmath](p\land q)\;\land\;r\;\iff\;s[/dispmath][dispmath](p\land q)\;\land\;\neg q\;\iff\;0[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{cc|c@{}ccc@{}cccccc}
p & q & ( & p & \land & q & ) & \land & \lnot & q & \leftrightarrow & 0\\ \hline
1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & & 0 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0\\
1 & 0 & & 1 & 0 & 0 & & 0 & 1 & 0 & \mathbf{1} & 0\\
0 & 1 & & 0 & 0 & 1 & & 0 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0\\
0 & 0 & & 0 & 0 & 0 & & 0 & 1 & 0 & \mathbf{1} & 0
\end{array}[/dispmath]
I utvrdjujemo da je formula tautologija. Znaci da skupovna jednakost vazi.

Aha okej.
Jasno mi je objasnjenje skroz, ali nisam vidjao do sad ovakav nacin dokazivanja preko tablice i pretvaranja ovih izraza u jedno slovo da tako kazem, nadao sam se da ima nesto jednostavnije. Hvala na odgovoru.

Ovako:
[dispmath](A\setminus B)\cap B=(A\cap\overline{B})\cap B=(A\cap\overline B)\cap B\cap B=(A\cap B)\cap(\overline{B}\cap B)=(A\cap B)\cap\emptyset=\emptyset[/dispmath]

E bas to mi je trebalo.

@Daniel je predložio kraći i elegantniji način:
[dispmath](A\setminus B)\cap B=\left(A\cap\overline B\right)\cap B=A\cap\underbrace{\left(\overline B\cap B\right)}_\emptyset=A\cap\emptyset=\emptyset[/dispmath]

Ja sam pokusavao da primenim ovo bez menjanja razlike u presek, nije islo. Super, hvala.

Može i bez pretvaranja razlike u presek, preko definicija, onako kako je Trougao pokazao. Jedino mislim da mu nije bila potrebna tablica istinitosti, vrlo lako se to dokazuje i bez tablice:
[dispmath]\left(A\setminus B\right)\cap B=\left\{x\;|\;\left(x\in A\;\land\;x\notin B\right)\;\land\;x\in B\right\}[/dispmath]
Iskoristimo asocijativnost za konjunkciju, [inlmath]\left(p\land q\right)\land r\;\iff\;p\land\left(q\land r\right)[/inlmath] i dobijemo:
[dispmath]\left(A\setminus B\right)\cap B=\left\{x\;|\;x\in A\;\land\;\left(x\notin B\;\land\;x\in B\right)\right\}[/dispmath]
a pošto je [inlmath]p\land\overline p[/inlmath] uvek netačan, dobijamo
[dispmath]\left(A\setminus B\right)\cap B=\left\{x\;|\;x\in A\;\land\;\bot\right\}[/dispmath]
Pošto je bilo koji iskaz u konjunkciji s netačnim iskazom uvek netačan, sledi
[dispmath]\left(A\setminus B\right)\cap B=\left\{x\;|\;\bot\right\}[/dispmath]
što znači da je [inlmath]\left(A\setminus B\right)\cap B[/inlmath] skup svih elemenata [inlmath]x[/inlmath] takvih da zadovoljavaju netačan iskaz – a pošto takvi elementi [inlmath]x[/inlmath] ne postoje, zaključujemo da skup [inlmath]\left(A\setminus B\right)\cap B[/inlmath] ne sadrži nijedan element, tj. da je prazan skup.

Jasno. Hvala.

Jel bi znao netko ovo rijesit? Treba dokazati sljedece: Ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath], tada je [inlmath]A\cup B[/inlmath] i [inlmath]A\cap B=A[/inlmath]. Unaprijed hvala.

Nije svrha ovog foruma da ti drugi reše zadatak. Svrha ovog foruma je da naučiš kako da ga rešiš, u čemu ćeš dobiti našu pomoć. Tako, uostalom, i kaže tačka 6. Pravilnika.

Prvo, kada je [inlmath]A\subset B[/inlmath], tada je [inlmath]A\cup B=B[/inlmath], moguće da si to greškom izostavio, čisto da razjasnimo.
Ako ti neka skupovna relacija nije jasna, uvek nacrtaj Venov dijagram. On ne može da posluži kao dokaz, ali može da ti vizuelno približi ono što je potrebno dokazati.

Kada se dokazuje jednakost dva skupa, tj. [inlmath]A=B[/inlmath], to se radi tako što se dokaže da je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i da je [inlmath]B\subseteq A[/inlmath].
Konkretno, u ovom slučaju, da bi dokazao [inlmath]A\cap B=A[/inlmath] potrebno je da dokažeš da istovremeno važe [inlmath]A\cap B\;\subseteq\;A[/inlmath] i [inlmath]A\;\subseteq\;A\cap B[/inlmath].
Slično i za uniju ova dva skupa.

Da li bi, za početak, umeo da napišeš formalne definicije (u logičkom zapisu) za podskup, uniju i presek?

[dispmath]A\subseteq B\;\iff\;\forall x(x\in A\;\Rightarrow\;x\in B)\\
A\cup B=\{x\;|\;x\in A\;\lor\;x\in B\}\\
A\cap B=\{x\;|\;x\in A\;\land\;x\in B\}[/dispmath]

Sve OK. (Uzgred, u Latexu vitičaste zagrade moraš pisati s backslashom, tj. \{ i \}, jer ako stoje bez backslasha tada ih Latex ne prikazuje, budući da on simbole vitičastih zagrada, kada nisu s backslashom, koristi za grupisanje izraza; korigovao sam ti to.)

E sad, na samom početku, jedna napomena. U tvom zadatku je kao pretpostavka zadato [inlmath]A\subset B[/inlmath]. To bi trebalo da znači da je [inlmath]A[/inlmath] pravi podskup od [inlmath]B[/inlmath], tj. da skup [inlmath]B[/inlmath] sadrži sve elemente skupa [inlmath]A[/inlmath], pri čemu skupovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] nisu jednaki. Za razliku od tog slučaja, [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] bi značilo da je [inlmath]A[/inlmath] podskup od [inlmath]B[/inlmath] pri čemu može biti i [inlmath]A=B[/inlmath]. Otprilike slično kao relacije [inlmath]<[/inlmath] i [inlmath]\le[/inlmath].
Za [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] definicija bi glasila upravo kako si i napisao,
[inlmath]A\subseteq B\;\iff\;\forall x\left(x\in A\;\Rightarrow\;x\in B\right)[/inlmath]
Za [inlmath]A\subset B[/inlmath] bilo bi potrebno još dodati i uslov da skup [inlmath]B[/inlmath] sadrži bar jedan element koji ne pripada skupu [inlmath]A[/inlmath]:
[inlmath]A\subset B\;\iff\;\forall x\left(x\in A\;\Rightarrow\;x\in B\right)\;\land\;\exists x\left(x\notin A\;\land\;x\in B\right)[/inlmath].

Problem je u tome što neki autori pod znakom [inlmath]\subset[/inlmath] podrazumevaju, zapravo, znak [inlmath]\subseteq[/inlmath]. Ne znam da li je to, možda, slučaj i u ovom tvom zadatku.
Kada piše znak [inlmath]\subseteq[/inlmath], tada, naravno, nikakve dileme nema.

U svakom slučaju, i iz [inlmath]A\subset B[/inlmath] i iz [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] sledi da mora važiti implikacija [inlmath]x\in A\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath] tako da ćemo to i koristiti u rešavanju ovog zadatka.

Pokazaću postupak za uniju:

Pošto je rečeno da je [inlmath]A\subset B[/inlmath], iz toga sledi implikacija [inlmath]x\in A\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath].
Na osnovu jedne od poznatih tautologija, [inlmath]p\Rightarrow p[/inlmath], izimajući da [inlmath]p[/inlmath] označava iskaz [inlmath]x\in B[/inlmath], možemo pisati i [inlmath]x\in B\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath].
Sada objedinimo pretpostavke ove dve implikacije, pri čemu dobijemo novu implikaciju, [inlmath]x\in A\;\lor\;x\in B\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath].
Kako je iskaz [inlmath]x\in A\;\lor\;x\in B[/inlmath] ekvivalentan iskazu [inlmath]x\in A\cup B[/inlmath], dobijamo implikaciju [inlmath]x\in A\cup B\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath], a na osnovu nje [inlmath]A\cup B\;\subseteq\;B[/inlmath].

Sada treba dokazati tvrdnju i u obrnutom smeru:
Na osnovu iste tautologije, [inlmath]p\Rightarrow p[/inlmath], ponovo pišemo [inlmath]x\in B\;\Rightarrow\;x\in B[/inlmath]. Pošto će uvek kada je ispunjeno [inlmath]x\in B[/inlmath] biti ispunjeno i [inlmath]x\in A\;\lor\;x\in B[/inlmath], na osnovu prethodne implikacije možemo napisati [inlmath]x\in B\;\Rightarrow\;x\in A\;\lor\;x\in B[/inlmath], to jest [inlmath]x\in B\;\Rightarrow\;x\in A\cup B[/inlmath]. Odatle sledi [inlmath]B\;\subseteq\;A\cup B[/inlmath].
(U ovom drugom delu dokaza čak nismo ni koristili podatak da je [inlmath]A\subset B[/inlmath], što znači da implikacija [inlmath]B\;\subseteq\;A\cup B[/inlmath] važi uvek, bez obzira na taj uslov; zaista, ako nacrtaš Venov dijagram, videćeš da neki skup uvek predstavlja podskup unije tog i nekog drugog skupa.)

I, na kraju,
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
A\cup B\;\subseteq\;B\\
B\;\subseteq\;A\cup B
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad A\cup B=B[/dispmath]
To bi bio neki princip, možeš li sad da pokušaš za presek?