Neka je [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath]. Na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] definisana je relacija sa: [inlmath]a\equiv_mb[/inlmath] ako i samo ako postoji [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] takvo da [inlmath]a-b=mk[/inlmath]
Dokazati da je [inlmath]\equiv_m[/inlmath] relacija ekvivalencije na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i odrediti klase elemenata.
Koja je ovo relacija? [inlmath]m[/inlmath] je bilo koji prirodan broj, i [inlmath]z[/inlmath] bilo koji ceo broj. Kako onda ispisati klase ekvivalencije?
Evo kako sam radio za refleksivnost: [inlmath]a\equiv_ma[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]a-a=mk[/inlmath] tj. [inlmath]0=mk[/inlmath].

Dokaz za refleksivnost je OK.
Za simetričnost: Ako je [inlmath]a\equiv_mb[/inlmath] onda važi [inlmath]a-b=km\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath]. Ako bismo imali [inlmath]b\equiv_ma[/inlmath], onda bi postojao broj [inlmath]k'[/inlmath] u skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath], takav da je [inlmath]b-a=k'm[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]a-b=-(b-a)[/inlmath], pa zamenom dobijamo da je [inlmath]km=a-b=-(b-a)=-k'm[/inlmath], tj. [inlmath]k=-k'[/inlmath]. Kako je [inlmath]k[/inlmath] u skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath], onda je i [inlmath]-k[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath].
Za tranzitivnost: neka je [inlmath]a\equiv_mb\quad\land\quad b\equiv_mc[/inlmath], onda postoje celi brojevi [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] takvi da [inlmath]a-b=k_1m[/inlmath] i [inlmath]b-c=k_2m[/inlmath]. Tada je [inlmath]a-c=a-b+b-c=k_1m+k_2m=(k_1+k_2)m=km[/inlmath], gde je [inlmath]k=k_1+k_2\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Prema tome, zaključujemo da je [inlmath]a\equiv_mc[/inlmath].

Klasu ekvivalencije [inlmath]\mathbb{Z}_i[/inlmath] čine oni brojevi koji pri deljenju sa [inlmath]m[/inlmath] imaju ostatak [inlmath]i[/inlmath]. Ukupno imaš [inlmath]m[/inlmath] klasa ekvivalencije: [inlmath]\mathbb{Z}_0,\mathbb{Z}_1,\mathbb{Z}_2,\dots\mathbb{Z}_{m-1}[/inlmath]. Njihova unija je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath].