MATEMANIJA

Pozdrav.Zanima me može li neko da pokuša dokazati sljedeća dva identiteta.Većina nas je navikli da koristi "gotove" formule, a kad se radi o njihovom dokazivanju tu je već problem.Pa eto ako neko zna ovo da uradi ili barem da pokuša pomoć, hvala unaprijed.Uglavnom zadatak glasi :

Neka je [inlmath]f\colon X\mapsto Y[/inlmath] preslikavanje i neka je [inlmath]A,B\subseteq X;\enspace C,D\subseteq Y[/inlmath]. Tada vrijede formule :
[dispmath]1)\enspace f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B);\enspace[/dispmath][dispmath]2)\enspace f^{-1}(C\setminus D)=f^{-1}(C)\setminus f^{-1}(D);\enspace[/dispmath][dispmath]3)\enspace A\subseteq f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).[/dispmath]
Zadatak riješiti općenito (ne koristeći primjere).

Sada,znam da pod zadatim uslovima vrijedi :
[dispmath]f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y[/dispmath][dispmath]f(B)=\{f(x)\colon x\in B\}\subseteq Y[/dispmath][dispmath]f(A\setminus B)=\{f(x)\colon x\in B\;\land\;x\notin B\}\subseteq Y[/dispmath]
Za mene su skupovi "apstraktni" ako mogu tako da kažem pa ne znam kako da ovo što sam zapisao primjenim da riješim ovaj problem.I ako piše da se riješi za neki opći slućaj, primjer bi dobro došao da bolje shvatim zadatak.

Evo za 1), a mislim (mada se nisam baš udubljivao) da se i ovi ostali mogu uraditi po sličnom principu.

Posmatrajmo neko [inlmath]y[/inlmath] takvo da [inlmath]y\in f(A)\setminus f(B)[/inlmath]. Odatle vidimo da važi [inlmath]y\in f(A)\;\land\;y\notin f(B)[/inlmath].
Iz [inlmath]y\in f(A)[/inlmath] sledi da postoji neko [inlmath]x\in A[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath].
Iz [inlmath]y\notin f(B)[/inlmath] sledi da ne postoji [inlmath]x\in B[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath], što znači da [inlmath]x\notin B[/inlmath].
Iz [inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]x\notin B[/inlmath] sledi [inlmath]x\in A\setminus B[/inlmath].
A iz [inlmath]x\in A\setminus B[/inlmath] sledi [inlmath]y\in f(A\setminus B)[/inlmath].

Ovime smo došli do implikacije [inlmath]y\in f(A)\setminus f(B)\;\Longrightarrow\;y\in f(A\setminus B)[/inlmath], a po definiciji podskupa ovo se može zapisati i kao [inlmath]f(A)\setminus f(B)\subseteq f(A\setminus B)[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)[/inlmath], što je trebalo dokazati.

BTW u slučaju da je [inlmath]f[/inlmath] injektivna, tada ćemo umesto znaka [inlmath]\supseteq[/inlmath] imati znak jednakosti.

dzenan9999 je napisao:I ako piše da se riješi za neki opći slućaj, primjer bi dobro došao da bolje shvatim zadatak.

Uzmi za primer [inlmath]A=\{-1,1\}[/inlmath], [inlmath]B=\{1\}[/inlmath] i [inlmath]f\colon x\mapsto x^2[/inlmath].

Hvala Daniele,vjeruj da sam na kraju i ja sam krenuo razmisljati u tom pravcu.Ako postoji [inlmath]x[/inlmath] ...