MATEMANIJA

Radim jedan zadatak iz relacija i nisam uspio dokazati antisimetricnost.
Zadatak glasi:
Neka je [inlmath]S=(0,1)\subset\mathbb{R}[/inlmath] i neka je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija definisana u skupu [inlmath]S[/inlmath] sa
[dispmath]x,y\in S\qquad x\rho y\iff\frac{x^2}{1-y^2}\ge\frac{y^2}{1-x^2}[/dispmath]
Ispitati refleksivnost, simetricnost, antisimetricnost i tranzitivnost date relacije.
Refleksivnost je ocigledna, jer dobijemo dva ista izraza, a to je tacno jer je znak nejednakosti vece ili jednako.
Kod antisimetricnosti slijedi da su ova dva izraza jednaka [inlmath]\frac{x^2}{1-y^2}=\frac{y^2}{1-x^2}[/inlmath]
Ali posle sredjivanja dobijem [inlmath]x^2-x^4=y^2-y^4[/inlmath]
Sad ne znam sta dalje da radim da dobijem [inlmath]x=y[/inlmath]

Potpuno su iste i leva i desna strana.

ss_123 je napisao:Ali posle sredjivanja dobijem [inlmath]x^2−x^4=y^2−y^4[/inlmath]
Sad ne znam sta dalje da radim da dobijem [inlmath]x=y[/inlmath]

Pa zar nisu iste, i leva i desna strana?
Neka me neko ispravi ako grešim, no isto je i na levoj i na desnoj strani i ovo je gotovo.
Jedino što može još biti je plus ili minus. Za [inlmath]x[/inlmath] ili za [inlmath]y[/inlmath].

A simetricnost, jel tako, ne vrijedi?
I tranzitivnost bi isla
[inlmath]\displaystyle x\rho y\iff\frac{x^2}{1-y^2}\ge\frac{y^2}{1-x^2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle y\rho z\iff\frac{y^2}{1-z^2}\ge\frac{z^2}{1-y^2}[/inlmath]
Ali i tu sam zapeo sa dokazivanjem da je [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]z[/inlmath].
Odnosno zanima me samo kako ide znak u slucaju unakrsnog mnozenja razlomaka sa razlicite strane nejednakosti.
Da li je ispravno
[dispmath]\frac{x^2}{1-y^2}\ge\frac{y^2}{1-x^2}\;\Longrightarrow\;x^2\left(1-x^2\right)\ge y^2\left(1-y^2\right)[/dispmath]

desideri je napisao:Pa zar nisu iste, i leva i desna strana?

Naravno da nisu iste, na levoj je [inlmath]x^2−x^4[/inlmath] a na desnoj [inlmath]y^2−y^4[/inlmath].
Odatle ne sledi da [inlmath]x=y[/inlmath] mora biti jedino rešenje, a kontraprimer bi bio [inlmath]x=\frac{\sqrt3}{2},\;y=\frac{1}{2}[/inlmath]. Obe vrednosti pripadaju zadatom intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], i za njih važi [inlmath]x^2−x^4=y^2−y^4[/inlmath], iako ne važi [inlmath]x=y[/inlmath].

To se može pokazati ako se iz [inlmath]x^2−x^4=y^2−y^4[/inlmath] izrazi neka od te dve promenljive, recimo [inlmath]x[/inlmath],
[dispmath]x^2−x^4=y^2−y^4\\
x^4-x^2+y^2−y^4=0\\
\left(x^2\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-4y^2+4y^4}}{2}[/dispmath]
i onda se, jednostavnim uvrštavanjem umesto [inlmath]y[/inlmath] neke vrednosti iz intervala [inlmath](0,1)[/inlmath], npr. [inlmath]y=\frac{1}{2}[/inlmath], dobiju kao rešenja [inlmath]x_1=-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], [inlmath]x_2=-\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x_3=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x_4=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pri čemu poslednja dva pripadaju zadatom intervalu, od čega [inlmath]x_3=\frac{1}{2}[/inlmath] zapravo predstavlja [inlmath]x=y[/inlmath] (što je da tako kažem trivijalno, već iz samog pogleda u jednačinu vidi se da je [inlmath]x=y[/inlmath] jedno od rešenja), dok nam rešenje [inlmath]x_4=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] pokazuje da iz te jednačine ne mora slediti [inlmath]x=y[/inlmath], što znači da kod ove relacije antisimetričnost ne važi.

ss_123 je napisao:A simetricnost, jel tako, ne vrijedi?

Simetričnost bi značila da za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]S[/inlmath] važi implikacija
[dispmath]x^2\left(1-x^2\right)\ge y^2\left(1-y^2\right)\;\Longrightarrow\;y^2\left(1-y^2\right)\ge x^2\left(1-x^2\right)[/dispmath]
a to će važiti samo ako za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]S[/inlmath] važi
[dispmath]x^2\left(1-x^2\right)=y^2\left(1-y^2\right)[/dispmath]
Međutim, lako se može naći kontraprimer, npr. [inlmath]x=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath].

ss_123 je napisao:Da li je ispravno
[dispmath]\frac{x^2}{1-y^2}\ge\frac{y^2}{1-x^2}\;\Longrightarrow\;x^2\left(1-x^2\right)\ge y^2\left(1-y^2\right)[/dispmath]

Jeste, ispravno je, pošto i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], pa samim tim [inlmath]1-y^2[/inlmath] i [inlmath]1-x^2[/inlmath] moraju biti pozitivni. Zbog toga možemo obe strane pomnožiti ovim vrednostima, ne menjajući pri tome smer znaka nejednakosti.
Da nije bio dat uslov [inlmath]x,y\in(0,1)[/inlmath], tj. da ne znamo predznake izraza [inlmath]1-y^2[/inlmath] i [inlmath]1-x^2[/inlmath], tada bismo morali raditi posebno za razne slučajeve njihovih predznaka.

---

P.S. Prvi put vidim da se u nekom zadatku relacija označava slovom [inlmath]p[/inlmath]. Da nisi možda umesto [inlmath]p[/inlmath] hteo da napišeš [inlmath]\rho[/inlmath]? Ako je tako, da ti ispravim?

U pravu si. Trebalo je [inlmath]\rho[/inlmath], ali ja sam zurio pa sam stavio [inlmath]p[/inlmath]. Bez latexa izgledaju slicno

I na kraju znaci da je ova relacija samo refleksivna i tranzitivna, jel tako?

Tako je, refleksivna i tranzitivna.