Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA SKUPOVA

Otvorenost/zatvorenost skupa. Zadatak

[inlmath]C\backslash\left(A\cap B\right)=\left(C\backslash A\right)\cup\left(C\backslash B\right)[/inlmath]

Otvorenost/zatvorenost skupa. Zadatak

Postod tastaturaetf » Nedelja, 24. Mart 2019, 12:29

Pozdrav,
Novi sam na forumu, pa mozda otvaram temu koja je vec otvorena. Moje pitanje glasi:

Da li je tacna tvrdnja: skup [inlmath]D[/inlmath] ( [inlmath]\subseteq R^2[/inlmath]) [dispmath]D: x>1 \land y>1[/dispmath] nije ni otvoren ni zatvoren?

Hvala unaprijed.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Otvorenost/zatvorenost skupa. Zadatak

Postod ubavic » Nedelja, 24. Mart 2019, 16:01

Skup [inlmath]D=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\;\middle|\;x\gt1\land y\gt1\right\}[/inlmath] je otvoren skup (u topologiji indukovanoj euklidskom metrikom). Da bi se u ovo uverio, odaberi proizvoljnu tačku [inlmath]A[/inlmath] iz [inlmath]D[/inlmath]. Tada su koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] oblika [inlmath]\left(1+\varepsilon_x,1+\varepsilon_y\right)[/inlmath], gde su [inlmath]\varepsilon_x[/inlmath] i [inlmath]\varepsilon_y[/inlmath] strogo pozitivni realni brojevi (ovo sledi iz same definicije skupa [inlmath]D[/inlmath]). Neka je [inlmath]\varepsilon=\min\left\{\varepsilon_x,\varepsilon_y\right\}[/inlmath]. Sada otvorena lopta sa poluprečnikom [inlmath]\varepsilon[/inlmath] i centrom u tački [inlmath]A[/inlmath] pripada skupu [inlmath]D[/inlmath]. Dakle skup [inlmath]D[/inlmath] je otvoren.

Ako ti ovaj dokaz nije jasan, predlažem ti da nacrtaš sliku.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Otvorenost/zatvorenost skupa. Zadatak

Postod tastaturaetf » Ponedeljak, 25. Mart 2019, 00:07

Hvala na odgovoru. Sada je jasnije, medjutim htio bih da rascistim jos neke stvari ako se slazete.

Ugrubu cu napisati definicije iz predavanja da bih lakse objasnio sta je problem.

Skup [inlmath]A[/inlmath] je otvoren ako su mu sve tacke unutrasnje. Tacka [inlmath]M\in A[/inlmath] je unutrasnja tacka skupa [inlmath]A[/inlmath] ako pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] sa svojom dovoljno malom okolinom.

Skup [inlmath]A[/inlmath] je zatvoren ako sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja.

Neka je zadan skup [inlmath]D(\subseteq R^2)[/inlmath], gdje je [dispmath]D:=\{ \forall (x,y)\in R^2|x\ge 1 \land y\ge 1\}[/dispmath]

Skup [inlmath]D[/inlmath] je zatvoren.
Kako sam ja shvatio, tom slucaju tacke u beskonacnosti uzimaju kao da pripadaju skupu [inlmath]D[/inlmath] (beskonacni pravougaonik). Malo je nejasno zasto je skup [inlmath]D[/inlmath] zatvoren, iako shvatam da oko jedne tacke u beskonacnosti postoji beskonacno mnogo drugih tacaka (pa je tacka gomilanja skupa [inlmath]D[/inlmath], ali ne bih nikad rekao da pripada skupu [inlmath]D[/inlmath]). Koliko se sjecam, u analizi realne funkcije jedne realne promjenljive se uveo pojam skupa [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]\overline{R}[/inlmath], da bi se ove razlikovalo da li je tacka u beskonacnosti ukljucena ili nije..


Kako je skup [inlmath]D[/inlmath] zatvoren, onda sam razmisljao na sljedeci nacin:

Skupu [inlmath]S(\subseteq R^2)[/inlmath], gdje je [dispmath]S:=\{ \forall (x,y)\in R^2|x>1 \land y>1\}[/dispmath] ne pripadaju sve njegove tacke nagomilavanja (beskonacno mnogo tacaka duz pravca [inlmath]x=1[/inlmath] i beskonacno mnogo tacaka duz pravca [inlmath]y=1[/inlmath]) pa ne moze biti zatvoren, a tacke u beskonacnosti se uzimaju kao da pripadaju skupu [inlmath]S[/inlmath] pa te tacke nisu unutrasnje (to je ocito ta greska u razmisljanju, jer kako ste Vi objasnili te tacke jesu unutrasnje jer pripadaju skupu [inlmath]S[/inlmath] sa svojom dovoljno malom okolinom).

Ako sam bio dovoljno precizan u objasnjenju onoga sta me je zbunjivalo, mozete li reci da li su (npr) sljedeca razmisljanja uredu:

[inlmath]i)[/inlmath] Skup [inlmath]K(\subseteq R^2)[/inlmath], gdje je [dispmath]K:=\{ \forall (x,y)\in R^2|y\ne x^2 \land y\ne x^2+1\}[/dispmath] je otvoren skup u skupu [inlmath]R^2[/inlmath].

[inlmath]ii)[/inlmath] Skup [inlmath]K(\subseteq R^2)[/inlmath], gdje je [dispmath]K:=\{ \forall (x,y)\in R^2|x^2+y^2\ne 1 \}[/dispmath] je otvoren skup u skupu [inlmath]R^2[/inlmath].

Unaprijed hvala i svako dobro. :)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Otvorenost/zatvorenost skupa. Zadatak

Postod ubavic » Ponedeljak, 25. Mart 2019, 17:57

Prvo, da razjasnimo ovo: U skupu [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] ne postoje tačke u beskonačnosti. Svaki element skupa [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] je na konačnoj udaljenosti od tačke [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]. Tačno je da se ponekad u realnoj analizi jedne promenljive posmatra proširena realna prava [inlmath]\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\left\{+\infty,-\infty\right\}[/inlmath], ali primetimo da [inlmath]\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\left\{+\infty,-\infty\right\}[/inlmath] nema više prirodnu strukturu metričkog prostora kao što to ima [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (ako bi imao, koliko bi onda bilo [inlmath]d(+\infty,5)[/inlmath], ili [inlmath]d(+\infty,-\infty)[/inlmath]?). Kad nemamo metrički prostor, potrebno je biti pažljiviji pri radu sa okolinama (npr. šta je okolina tačke [inlmath]+\infty[/inlmath], itd...). Moguće je i u [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] uvesti beskonačno daleku tačku, ali nam to u realnoj analizi ničemu ne služi (u kompleksnoj analizi ima više smisla...).

Evo jednostavnog dokaza da je [inlmath]D=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2|x\ge 1 \land y\ge 1\right\}[/inlmath] zatvoren: Neka je [inlmath]T[/inlmath] tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath]. Tada, po definiciji, postoji niz tačaka [inlmath]\left(a_n\right)_{n=0}^{\infty}[/inlmath] iz [inlmath]A[/inlmath], takav da je [inlmath]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = T[/inlmath]. Ako su sada [inlmath]\left(x_n,y_n\right)[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]a_n[/inlmath], tada je [dispmath]T=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(x_n, y_n\right) = \left(\lim_{n\rightarrow\infty} x_n,\lim_{n\rightarrow\infty} y_n\right) =(x,y).[/dispmath]
Kako su svi članovi niza [inlmath]\left(x_n\right)[/inlmath] veći ili jednaki sa [inlmath]1[/inlmath], to je i njihov limes [inlmath]x[/inlmath]. Isto to važi i za [inlmath]y[/inlmath]. Prema tome koordinate tačke [inlmath]T[/inlmath], a to su [inlmath](x,y)[/inlmath], su veće ili jednake sa [inlmath]1[/inlmath]. Dakle [inlmath]T[/inlmath] pripada skupu [inlmath]A[/inlmath]. Primeti da su sve koordinate koje se ovde pojavljuju konačni brojevi, jer kao što sam rekao, u [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] ne postoje beskonačno daleke tačke.

Da bi bolje shvatio šta su zatvoreni skupovi, probaj da dokažeš sledeće tvrđenje: Skup [inlmath]A[/inlmath] je zatvoren ako i samo ako je njegov komplement otvoren. Štaviše, često se zatvoreni skupovi definišu baš kao komplementi otvorenih skupova. Uz ovakvu karakterizaciju probaj da pokažeš da je [inlmath]D[/inlmath] zatvoren skup (njegov komplement predstavi kao uniju skupova [inlmath]\left\{\left(x,y\right)|x\lt1\right\}[/inlmath] i [inlmath]\left\{\left(x,y\right)|y\lt1\right\}[/inlmath], i pokaži da je unija dva otvorena skupa otvoren skup).

Skupovi [inlmath]K_1[/inlmath] i [inlmath]K_2[/inlmath] koje si naveo na kraju, jesu otvoreni, ali kako bi ti to dokazao?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta


Povratak na TEORIJA SKUPOVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs