Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
16. zadatak
Dat je skup [inlmath]\displaystyle S=\left\{\left(\frac{-1+i\sqrt3}{2}\right)^{2019},\text{Im}\left(\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2019}\right),0.3333333,\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3},\frac{22}{7}\right\}[/inlmath] i skup racionalnih brojeva [inlmath]\displaystyle\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\Bigm|p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}\right\}[/inlmath], [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Broj elemenata skupa [inlmath]S\cap\mathbb{Q}[/inlmath] jeste:
Resenje [inlmath]\enclose{circle}{3}[/inlmath]
Nigde nisam nasao ovo uradjeno, mislim trebalo bi da je prelako ali me buni dosta pa neko iskusniji bi mogao da mi razjasni, krenucu redom.
Dizanjem prve zagrade na treci stepen lako dobijam [inlmath]1^{673}=1[/inlmath] i jedinica pripada skupu racionalnih brojeva.
Imaginarnni deo u drugoj zagradi bi trebao da bude [inlmath]2^{1008}\sqrt2[/inlmath] i sad ide prva zabuna, da li racionalan broj pomnozen iracionalnim za proizvod daje iracionalan broj, iskreno po osecaju sam rekao da ce proizvod biti iracionalan tako da drugi clan nisam uzeo kao resenje, ali neka neko ospori ili potvrdi moju tvrdnju, znacice mi.
Treci clan je sam napisao u obliku [inlmath]\frac{3333333}{10000000}[/inlmath] sto jeste racionalan broj.
Ponovo ide jedna prepreka a to da li je [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] racionalan, posto sam siguran da je broj [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan onda sam napisao da ce iracionalan broj podeljen sa racionalnim dati za kolicnik iracionalan broj, ponnovo neka neko potvrdi ili ospori ovu tvrdnju.
Vrednost [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath] jeste [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sto sam sluzeci se tvrdnjom iz prethodnog clana zakljucio da ce biti iracionalan broj.
I sada poslastica a to je [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath], e sada koliko sam ucen broj [inlmath]\pi[/inlmath] jeste razlomak [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath], zanima me da li je to priblizna vrednost ili je broj [inlmath]\pi[/inlmath] stvarno [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath] jer me to buni i ne znam da li on spada u racionalne ili iracionalne brojeve.
Znam da je ovo zadatak za 5. razred ali ko pita ne skita.