MATEMANIJA

Odrediti skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] ako vrijedi:
[inlmath]A\cup B=\left\{x\in\mathbb{N}:\;x\le6\right\},\;A\cap B=\left\{x\in\mathbb{N}:\;x\le4\right\},\;\left\{4,6\right\}\not\subseteq A,\;\left\{5,6\right\}\not\subseteq B\setminus A.[/inlmath]

Dosta sam slab sa skupovima pa nemam ideju kako se rješava ovakav zadatak.

[dispmath]A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/dispmath][dispmath]A\cap B=\left\{1,2,3,4\right\}[/dispmath][dispmath]\left\{4,6\right\}\not\subseteq A\;\Longrightarrow\;6\notin A\;\Longrightarrow\;6\in B[/dispmath][dispmath]\left\{5,6\right\}\not\subseteq B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B\;\Longrightarrow\;5\in A[/dispmath][dispmath]A=\left\{1,2,3,4,5\right\}[/dispmath][dispmath]B=\left\{1,2,3,4,6\right\}[/dispmath]

Kako to da ako [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] nisu podskup skupa [inlmath]A[/inlmath] važi da se [inlmath]4[/inlmath] nalazi u skupu [inlmath]A[/inlmath]? Shvatam da [inlmath]4[/inlmath] ulazi u presjek skupa, ali zar iz ta dva uslova ne bi trebalo proizaći da zadatak nema riješenja?

[inlmath]A[/inlmath] nije podskup [inlmath]B[/inlmath], znači da postoji bar jedan element [inlmath]A[/inlmath] koji nije element [inlmath]B[/inlmath]. To je ovdje slučaj za [inlmath]6\notin A[/inlmath].

qualizz je napisao:Kako to da ako [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] nisu podskup skupa [inlmath]A[/inlmath] važi da se [inlmath]4[/inlmath] nalazi u skupu [inlmath]A[/inlmath]?

Ne vidim da je iko to tvrdio. Da se [inlmath]4[/inlmath] nalazi u skupu [inlmath]A[/inlmath] sledi iz toga što [inlmath]4[/inlmath] pripada preseku skupova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath].

Možda te buni ovaj deo, koji je neprecizan:

primus je napisao:[dispmath]\left\{4,6\right\}\not\subseteq A\;\Longrightarrow\;6\notin A[/dispmath]

Naime, [inlmath]\left\{4,6\right\}\not\subseteq A[/inlmath] nije dovoljan podatak da bismo zaključili da [inlmath]6\notin A[/inlmath], već se to može zaključiti na osnovu još jednog datog podatka, da je [inlmath]4\in A[/inlmath].
Dakle, preciznije bi bilo to zapisati ovako,
[dispmath]4\in A\;\land\;\{4,6\}\not\subseteq A\;\Longrightarrow\;6\notin A[/dispmath] Isto tako, i

primus je napisao:[dispmath]\left\{5,6\right\}\not\subseteq B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B\setminus A[/dispmath]

trebalo bi da bude napisano kao
[dispmath]6\in B\setminus A\;\land\;\{5,6\}\not\subseteq B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B\setminus A[/dispmath] a isto tako i

primus je napisao:[dispmath]5\notin B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B[/dispmath]

da bude napisano kao
[dispmath]5\notin A\cap B\;\land\;5\notin B\setminus A\;\Longrightarrow\;5\notin B[/dispmath]

Srdjan01 je napisao:[inlmath]A[/inlmath] nije podskup [inlmath]B[/inlmath]

Jeste tačno da [inlmath]A[/inlmath] nije podskup [inlmath]B[/inlmath], ali na osnovu čega si to zaključio?

---

Može se ovaj zadatak rešiti i inutitivnije, s manje logičkog računa, ako se podatak da je [inlmath]A\cap B=\{1,2,3,4\}[/inlmath] predstavi Venovim dijagramom:


Dakle, preostalo je još utvrditi kako peticu i šesticu rasporediti u [inlmath]A\setminus B[/inlmath] (na dijagramu obeleženo žuto) i u [inlmath]B\setminus A[/inlmath] (na dijagramu obeleženo plavo). Za to raspoređivanje postoje četiri mogućnosti,

• i petica i šestica idu u [inlmath]A\setminus B[/inlmath]
• petica ide u [inlmath]A\setminus B[/inlmath], a šestica u [inlmath]B\setminus A[/inlmath]
• petica ide u [inlmath]B\setminus A[/inlmath], a šestica u [inlmath]A\setminus B[/inlmath]
• i petica i šestica idu u [inlmath]B\setminus A[/inlmath]

a zatim se vrlo lako proveri koja je jedina od ovih mogućnosti koja zadovoljava sve zadate uslove.

Daniel je napisao:Jeste tačno da [inlmath]A[/inlmath] nije podskup [inlmath]B[/inlmath], ali na osnovu čega si to zaključio?

Ako je [inlmath]A[/inlmath] podskup [inlmath]B[/inlmath], onda [inlmath]A\cap B=A[/inlmath].

Dato nam je:
[inlmath]A\cap B=\left\{0,1,2,3,4\right\}\\
A\cup B=\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}[/inlmath]

Da je to slučaj [inlmath]A\cap B=A=\left\{0,1,2,3,4\right\}[/inlmath], onda je jedini način da se uslov unije ostvari, ako su i [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] članovi [inlmath]B[/inlmath]. Ali uslov [inlmath]\left\{5,6\right\}\not\subseteq B\setminus A[/inlmath] kaže da oba člana, ne mogu biti članovi grupe [inlmath]B[/inlmath], ali ne i [inlmath]A[/inlmath]. Kontradikcijom, [inlmath]A[/inlmath] ne može biti [inlmath]\left\{0,1,2,3,4\right\}[/inlmath], a samim tim nije podskup od [inlmath]B[/inlmath].

Da, sasvim je ispravan rezon, nego mi je iz tvog posta delovalo kao da je to nešto što je očigledno... Hvala svakako.

Srdjan01 je napisao:[inlmath]A\cap B=\left\{{\color{red}0},1,2,3,4\right\}\\
A\cup B=\left\{{\color{red}0},1,2,3,4,5,6\right\}[/inlmath]

Eh, opet ona stara dilema – pripada li nula skupu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] ili ne. I sâm sam se pomalo dvoumio da li ovde ubrajati i nulu ili ne, ali na našem matematičkom podneblju je nekako uobičajeno da elementi [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] idu od [inlmath]1[/inlmath] pa nadalje, a da se, ako treba naglasiti pripadnost nule, onda taj skup označava sa [inlmath]\mathbb{N}_0[/inlmath].