-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
NemanjaS
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Sreda, 20. Oktobar 2021, 00:12
Pre svega, prilično sam siguran da bi zapis [inlmath]m|n\iff(\exists k\in\mathbb{N})=km[/inlmath] (koji ne znači ništa) trebalo zapravo da glasi [inlmath]m|n\iff(\exists k\in\mathbb{N})(n=km)[/inlmath].
Zatim, oko terminologije – kad kažeš da je relacija parcijalno uređena, verovatno misliš da je u pitanju relacija poretka, a da je uređeni par [inlmath](\mathbb{N},|)[/inlmath] parcijalno uređen skup.
Da bi dokazao da je [inlmath]|[/inlmath] relacija poretka, po definiciji treba dokazati da je ta relacija refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.
Pokazaću kako se radi za antisimetričnost (jer mi se taj deo posla čini najzanimljivijim), a ako shvatiš princip onda će za refleksivnost i za tranzitivnost biti dosta lakše.
Relacija [inlmath]\rho[/inlmath] na skupu [inlmath]S[/inlmath] po definiciji je antisimetrična akko važi [inlmath](\forall x,y\in S)(x\rho y\;\land\;y\rho x\;\Longrightarrow\;x=y)[/inlmath]. Prema tome, treba da dokažemo da za svaka dva prirodna broja [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] važi [inlmath]m|n\;\land\;n|m\;\Longrightarrow\;m=n[/inlmath]. To dalje možemo zapisati kao
[dispmath]n=k_1m\;\land\;m=k_2n\;\Longrightarrow\;m=n[/dispmath] gde su [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] neki prirodni brojevi.
Uvrštavanjem [inlmath]n=k_1m[/inlmath] u [inlmath]m=k_2n[/inlmath] (ili obratno) dolazimo do toga da je [inlmath]k_1=\frac{1}{k_2}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]k_1[/inlmath] prirodan broj, sledi da je [inlmath]\frac{1}{k_2}[/inlmath] takođe prirodan broj, a to će biti slučaj ako i samo ako je [inlmath]k_2=1[/inlmath], odakle sledi i da je [inlmath]k_1=1[/inlmath]. Vraćanjem u [inlmath]n=k_1m[/inlmath] (ili u [inlmath]m=k_2n[/inlmath]) zaključujemo da je [inlmath]m=n[/inlmath], čime je dokazana implikacija, a samim tim i antisimetričnost.
Što se tiče dela zadatka koji se odnosi na [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath], pretpostavljam da je relacija deljivosti za dva cela broja [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] sada definisana kao [inlmath]m|n\iff(\exists k\in{\color{red}\mathbb{Z}})(n=km)[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain