MATEMANIJA

Zdravo,
Zadata je relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(x,x^2\right)\mid\:x\in[0,\infty)\right\}[/inlmath]. Treba ispitati osobine [inlmath]\:R\:S\:A\:T\:F[/inlmath]

Za refleksivnost mi je jasno - nije refleksivna jer ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]2\rho4[/inlmath], gde odmah propada refleksivnost.
E sad, nastaje problem od određivanja simetričnosti pa sve nadalje. Da krenem od simetričnosti:
Ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath], prema definiciji simetričnosti to bi izgledalo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath]. Zbog čega taj uslov ne važi, jer imamo kontrapar?
Kod antisimetričnosti: Uzmimo ponovo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath]. Dobijamo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath], što bi značilo da je [inlmath]2=4[/inlmath] što nikako nije tačno, a tačno je u rešenju.

Slično pitanje i kod tranzitivnosti i kod funkcija, nesiguran sam još uvek oko toga, tako da bi svaka pomoć značila.

Acim je napisao:Ako uzmemo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath], prema definiciji simetričnosti to bi izgledalo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath]. Zbog čega taj uslov ne važi, jer imamo kontrapar?

Za [inlmath]x=2[/inlmath], da bi simetričnost važila, morali bismo imati [inlmath]2\rho4\;\Longrightarrow\;4\rho2[/inlmath]. Međutim, [inlmath]4\rho2[/inlmath] očigledno ne važi, jer ako je [inlmath]x=4[/inlmath], tada [inlmath]x^2[/inlmath] nije jednako [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome, imamo levu stranu implikacije koja je tačna i desnu koja je netačna, pa je cela implikacija netačna, tj. imamo kontraprimer za simetričnost. Simetričnost nije zadovoljena.

Acim je napisao:Kod antisimetričnosti: Uzmimo ponovo da nam je [inlmath]x=2[/inlmath]. Dobijamo: [inlmath]2\rho4[/inlmath] i [inlmath]4\rho2[/inlmath], što bi značilo da je [inlmath]2=4[/inlmath] što nikako nije tačno, a tačno je u rešenju.

Izgleda da nisi razumeo sâm pojam antisimetričnosti. On kaže da, ako je [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath], tada je [inlmath]x=y[/inlmath]. To, drugim rečima, znači da je uslov za antisimetričnost taj, da ne postoje dva različita elementa takva da istovremeno prvi bude u relaciji s drugim i drugi u relaciji s prvim.
U ovom konkretnom slučaju, kada bi jedan element bio u relaciji s drugim, a drugi s prvim, to bi značilo da je [inlmath]x[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x[/inlmath], a pošto je [inlmath]x^2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]x^4[/inlmath], značilo bi da je [inlmath]x=x^4[/inlmath], a takvih elemenata u skupu [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] ima samo dva (to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]).

• Dakle, za [inlmath]x=0[/inlmath]:
  [inlmath]0\rho0^2\;\land\;0^2\rho0\;\Longrightarrow\;0=0^2[/inlmath] – obe strane implikacije su tačne, pa je cela implikacija tačna;
• Slično i za [inlmath]x=1[/inlmath];
• Za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] iz datog skupa koje nije [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]:
  [inlmath]x\rho x^2\;\land\;x^2\rho x\;\Longrightarrow\;x=x^2[/inlmath] – i leva i desna strana implikacije su netačne, pa je cela implikacija tačna.

Pošto je implikacija tačna za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] iz datog skupa, to znači da antisimetričnost jeste zadovoljena.