Imam nekih nedoumica i nejasnoća kada je u pitanju teorija Matematičke analize. Ja bih, ako je to moguće, postavljala neka teorijska pitanja.
Naravno, ne želim da mi neko piše ceo odgovor na neko pitanje, već samo želim da me neko uputi na pravilan način razmišljanja ili da mi ukaže na grešku u razmišljanju.

Tvrdjenje. Skup (0, 1) je neprebrojiv.

Dokaz
http://mata.fon.rs/uploaded/mat1/nastava/m1-sedmo%20predavanje%20(D.%20Djoric,%20R.%20Lazovic).pdf
21-22 str

Dakle, svaki realni broj može da se napiše u decimalnom obliku. Taj decimalni oblik možeš da ima konačan i beskonačan broj cifara.
Oni u dokazu žele da pokažu suprotno - da [inlmath]R[/inlmath] brojevi iz [inlmath](0,1)[/inlmath] mogu da se poređaju u niz ([inlmath]a_n[/inlmath]), pa onda izaberu jedan broj [inlmath]b_n[/inlmath] koji pak ne pripada tom nizu ali pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], jer su realni brojevi beskonačni u svom zapisu i uvek može da se nađe broj koji je različit u decimalnom zapisu od bilo kog člana prvobitnog niza ([inlmath]a_n[/inlmath]).

Pitanje je sledeće. Zašto ne može da se uspostavi bijekcija između skupova [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{R}\cap(0,1)[/inlmath], ako su oni beskonačni (i jedan i drugi)?

Beskonačni jesu, ali je jedan prebrojiv a drugi nije, pa samim tim između njih nije moguće uspostaviti bijekciju. Bijekcija postoji samo između skupova iste kardinalnosti: skupovi [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] su beskonačni i prebrojivi (kardinalnost im je [inlmath]\aleph_0[/inlmath]), pa je između njih moguće uspostaviti bijekciju. Isto tako, skupovi [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], [inlmath]\mathbb{I}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] su beskonačni i neprebrojivi (kardinalnost im je [inlmath]c[/inlmath]), pa je i između njih moguće uspostaviti bijekciju. Međutim, ne može se uspostaviti bijekcija između skupova različitih kardinalnosti, npr. između [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], između [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], između [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] itd.

Da ne postoji bijekcija između skupova [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{R}\cap\left(0,1\right)[/inlmath] sledi i z ove teoreme koju si priložila. U njoj se pretpostavi da se skup prirodnih brojeva bijektivno preslikava u skup [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath],
[dispmath]f\left(n\right)=a_n=0,a_{n1}a_{n2}\dots a_{nn}\dots[/dispmath]
i dođe se do kontradikcije jer uvek možemo naći neko [inlmath]a[/inlmath] koje ne pripada nizu [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots[/inlmath]. Prema tome, pretpostavka da bijektivno preslikavanje postoji je pogrešna, iz čega zaključujemo da bijekcija ne postoji.

A na osnovu čega mi zaključimo da je određeni skup baš te kardinalnosti? Kako smo zaključili da nije prebrojiv [inlmath]\mathbb{R}\cap(0,1)[/inlmath]? I zašto baš ne može da se poređa u red taj skup. Kapiram da relni brojevi mogu da imaju beskonačan zapis, ali zašto ne mogu baš svi da se poređaju u red, ako je skup prirodnih brojeva beskonačan i baš zbog toga "ima potencijal" da se poveže sa svakim elementom beskonačnog skupa?
Ovo mi je baš konfuzno!

Po dogovoru, kardinalnost skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] je [inlmath]\aleph_0[/inlmath]. Svi skupovi koji su ekvivalentini sa skupom [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] imaju kardinalnost [inlmath]\aleph_0[/inlmath]. Ta ekvivalentnost dva skupa se dokazuje uz pomoć bijektivne funkcije. Tako možemo dokazati da je [inlmath]\mathrm{card}\ \mathbb{N}=\mathrm{card}\ \mathbb{Z}=\mathrm{card}\ \mathbb{Q}=\aleph_0[/inlmath] (Kao što je Daniel već napisao). Sve skupove koji imaju kardinalnost [inlmath]\aleph_0[/inlmath] označavamo kao prebrojive.
Takođe, po dogovoru, kardinalnost skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] je [inlmath]\mathfrak{c}[/inlmath]. Za skupove koji se mogu bijektivno preslikati na skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] kažemo da imaju moć kontinuuma (tj. njihova kardinalnost je [inlmath]\mathfrak{c}[/inlmath]). Takvi su skupovi [inlmath]\mathbb{I}[/inlmath], [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]... kao i svi intervali na njima. Sve skupove koji imaju kardinalnost [inlmath]\mathfrak{c}[/inlmath] označavamo kao neprebrojive.

Da bi dokazala da [inlmath](0,1)[/inlmath] ima kardinalnost [inlmath]\mathfrak{c}[/inlmath], potrebno je naći bijektivnu funkciju [inlmath]f:\;(0,1)\rightarrow\mathbb{R}[/inlmath]. Jedna takva funkcija je [inlmath]f=\mathrm{tg}\left(x\pi+\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath].

Dokaz izveden na prezentaciji je malo škrto objašnjen. Pretpostavimo da pomoću neke funkcije [inlmath]F(x)[/inlmath] sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] napišemo u obliku [inlmath]0,n[/inlmath]:
[dispmath]F(1)=0,11\\
F(2)=0,21\\
F(3)=0,31\\
\vdots\\
F(n)=\frac{n+0.1}{10^{\left\lfloor\log_{10}n\right\rfloor+1}}[/dispmath]
Kada ispišemo sve prirodne brojeve na ovaj način, konstruišimo novi broj na sledeći način: prva decimala (iza zareza) novog broja mora se razlikovati od prve decimale broja [inlmath]F(1)[/inlmath], druga decimala novog broja se mora razlikovati od druge decimale broja [inlmath]F(2)[/inlmath],..., [inlmath]n[/inlmath]-ta decimala novog broja se mora razlikovati od [inlmath]n[/inlmath]-te decimale broja [inlmath]F(n)[/inlmath]. Na ovaj način dobićemo novi broj koji nije upisan u listu. Međutim, po pretpostavci svi brojevi iz intervala [inlmath](0,1)[/inlmath] već su navedeni u listi. Time dolazimo do kontradikcije, pa zaključujemo da [inlmath](0,1)[/inlmath] nije prebrojiv. Ovaj dokaz se naziva Kantorov dijagonalni argument.

Zahvaljujem!

Koju knjigu za matematičku analizu biste preporučili?