Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
13. zadatak

Ako je [inlmath]y=kx+n[/inlmath] prava simetrična pravoj koja sadrži tačke [inlmath]A(5,-4)[/inlmath] i [inlmath]B(3,2)[/inlmath] u odnosu na pravu [inlmath]2x-y+6=0[/inlmath], onda [inlmath]k\cdot n[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;8;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\text{B)}}\;\frac{23}{9};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;12;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-12;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-\frac{23}{3}.[/inlmath]

---

Najpre ćemo odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]5k+n=-4\\
3k+n=2[/dispmath] Ovo ćemo rešiti kao sistem jednačina, ali smo mogli i da izrazimo [inlmath]n[/inlmath] ili [inlmath]k[/inlmath] i zamenimo u drugu jednačinu. Vaš izbor.
[dispmath]5k+n=-4\quad\big/\cdot(-1)\\
3k+n=2[/dispmath] Dalje dobijamo:
[dispmath]-5k-n=4\\
3k+n=2[/dispmath] Sabraćemo jednačine i tako eliminisati [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]-2k=6\\
k=-\frac{6}{2}\\
k=-3[/dispmath] Sada ćemo zameniti [inlmath]k[/inlmath] u neku od jednačina i dobiti [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]2=3\cdot(-3)+n\\
2=-9+n\\
n=2-(-9)\iff n=2+9\iff n=11[/dispmath] Jednačina prave koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] glasi [inlmath]y=-3x+11[/inlmath]. Prava čija je jednačina [inlmath]2x-y+6=0[/inlmath] je osa simetrije. Prebacićemo [inlmath]y[/inlmath] na drugu stranu i dobiti sređenu jednačinu te prave:
[dispmath]2x+6=y\iff y=2x+6[/dispmath] Sada ćemo naći tačke simetrične tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] u odnosu na jednačinu prave [inlmath]y=2x+6[/inlmath] jer je ona osa simetrije. Te tačke će biti:
[dispmath]A_1(-11,4)\\
B_1(-5,6)[/dispmath] Odredićemo jednačinu prave koja sadrži tačke [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]B_1[/inlmath].
[dispmath]-11k+n=4\\
-5k+n=6\\
-11k+n=4\quad\big/\cdot(-1)\\
-5k+n=6\\
11k-n=-4\\
-5k+n=6[/dispmath] Saberemo jednačine i dobijemo:
[dispmath]6k=2\\
k=\frac{2}{6}\\
\enclose{box}{k=\frac{1}{3}}\\
-11\cdot\frac{1}{3}+n=4\\
-\frac{11}{3}+n=4\\
n=4+\frac{11}{3}\\
n=\frac{12}{3}+\frac{11}{3}\\
\enclose{box}{n=\frac{23}{3}}[/dispmath] Jednačinu ove prave ne moramo pisati jer samo treba da pomnožimo [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]k\cdot n=\frac{1}{3}\cdot\frac{23}{3}\\
\enclose{box}{k\cdot n=\frac{23}{9}}[/dispmath]

Pozdrav! Istakao bih i jedan drugi način rešavanja ovog zadatka. Dakle, mogli smo sličnim (korišćenjem jednačine kroz dve poznate tačke) ili istim postupkom kao u postu iznad naći da je jednačina prave [inlmath]p[/inlmath] koja prolazi kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] u stvari [inlmath]p\colon y=-3x+11[/inlmath]. Tada bismo mogli, znajući da je koeficijent prave koja je osa simetrije [inlmath]k_s=2[/inlmath], a koeficijent prave koja prolazi kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] u stvari [inlmath]k_p=-3[/inlmath], da nađemo oštar ugao između te dve prave:
[dispmath]\varphi=\text{arctg}\left|\frac{k_s-k_p}{1+k_sk_p}\right|=\text{arctg}\left|\frac{2+3}{1-6}\right|=45^\circ[/dispmath] Pošto tražimo ugao između dve simetrične prave (jednu smo označili sa [inlmath]p[/inlmath], a drugu označimo sa [inlmath]q[/inlmath]), jasno je da one zaklapaju isti ugao sa osom simetrije [inlmath]y=2x+6[/inlmath], pa je time ugao između te dve simetrične prave [inlmath]2\varphi=90^\circ[/inlmath]. Prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] su, dakle, normalne, pa je iz uslova normalnosti pravih koeficijent prave [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]k_q=-\frac{1}{k_p}=\frac{1}{3}[/dispmath]

---

Pošto prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] seku osu simetrije u istoj tački, rešavanjem sistema:
[dispmath]y=-3x+11\;\land\;y=2x+6[/dispmath] dobićemo da je ta zajednička presečna tačka [inlmath]M(1,8)[/inlmath], te se iz eksplicitnog oblika jednačine prave [inlmath]q[/inlmath] koji glasi [inlmath]y=k_qx+n[/inlmath], uvrštavanjem poznatih koordinata tačke [inlmath]M[/inlmath] i vrednosti za [inlmath]k_q[/inlmath] dobija da je [inlmath]n=\frac{23}{3}[/inlmath]. Samim tim je konačno rešenje:
[dispmath]\enclose{box}{k\cdot n=\frac{23}{9}}[/dispmath] gde je [inlmath]k=k_q=\frac{1}{3}[/inlmath].

Takođe lep način za rešavanje ovog zadatka.

Stefan Boricic je napisao:Najpre ćemo odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]5k+n=-4\\
3k+n=2[/dispmath]
[dispmath]\vdots[/dispmath]
[dispmath]n=2-(-9)\iff n=2+9\iff n=11[/dispmath] Jednačina prave koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] glasi [inlmath]y=-3x+11[/inlmath].

Ceo ovaj deo nije bio potreban ako traženu pravu određujemo preko simetričnih tačaka. Tada nam uopšte nije potrebna jednačina prave koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath].