Zdravo, da li mi molim vas mozete pomoci oko zadatka? Glasi ovako:

Data je ravan [inlmath]x+y=0[/inlmath] i prave
[dispmath]p_1\colon{x\over3}={y+1\over1}={z-3\over-2}[/dispmath] i
[dispmath]p_2\colon\begin{cases}
y=z-2\\
x=1
\end{cases}[/dispmath] Odrediti pravu [inlmath]p[/inlmath] paralelnu datoj ravni i koja sece date prave u tackama cije je rastojanje [inlmath]3[/inlmath].

Uopste nemam ideju kako da iskoristim informaciju o rastojanju, zato ne znam kako da zapocnem zadatak.

Vektorske jednačine datih pravi i ravni su:



gde je [inlmath]\overrightarrow{r}=\left( x,y,z \right);\space \space t,k\in R[/inlmath].
Vektor normale ravni [inlmath]\pi[/inlmath] je vektor [inlmath]\overrightarrow{n}=\left( 1,1,0 \right)[/inlmath].
Neka tražena prava [inlmath]q[/inlmath] seče date prave u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], redom.
Kako tačke [inlmath]A\in p_{1}[/inlmath] i [inlmath]B\in p_{2}[/inlmath], njihove koordinate su


Vektor pravca [inlmath]q[/inlmath] je vektor [inlmath]\overrightarrow{BA}[/inlmath] (ili [inlmath]\overrightarrow{AB}[/inlmath], svejedno)

Kako je prava [inlmath]q[/inlmath] paralelna sa datom ravni [inlmath]\pi[/inlmath], njen vektor pravca [inlmath]\overrightarrow{BA}[/inlmath] je normalan na vektor [inlmath]\overrightarrow{n}[/inlmath], tj:

i dato je
Potrebno je odrediti [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]. Poslednje dve jednakosti daju sistem jednačina:
[dispmath]3t-1+t-k+1=0[/dispmath][dispmath]\left( 3t-1 \right)^{2}+\left( t-k+1 \right)^{2}+\left( 2t-k+3 \right)^{2}=9[/dispmath]
Ova sistem ima dva rešenja:
1) [inlmath]t=1; \space k=4[/inlmath] , a onda je jednačina prave [dispmath]q:\space\overrightarrow{r}=\left( 3,0,5 \right)+\lambda\left( 1,2,4 \right)[/dispmath]
2) [inlmath]t=\frac{1}{11};\space k=\frac{4}{11}[/inlmath] , a onda je jednačina prave [dispmath]q:\space\overrightarrow{r}=\left( \frac{3}{11},-\frac{10}{11},\frac{35}{11} \right)+\lambda\left( \frac{8}{11},-\frac{8}{11},\frac{31}{11} \right)[/dispmath]

Fare je napisao:Vektorske jednačine datih pravi i ravni su:

[inlmath]p_{1}:\space\overrightarrow{r}=\left( 0,-1,3 \right)+t\left( 3,1,{\color{red}2}\right)[/inlmath]

[inlmath]p_{2}:\space\overrightarrow{r}=\left( 1,-2,0 \right)+k\left(0,1,1 \right)[/inlmath]

[inlmath]\pi:\space\left( 1,1,0 \right)\cdot \overrightarrow{r}=0[/inlmath]

Umesto crvene dvojke treba [inlmath]-2[/inlmath] (s tom ispravkom dobije se dosta nezgodniji, iracionalan rezultat). Ali, svakako je od pomoći prikazani postupak, a posle je lako primeniti ga i na druge brojne vrednosti.

---

Drugi način bio bi da postavimo ravan koja je paralelna zadatoj ravni [inlmath]x+y=0[/inlmath] i koja sadrži traženu pravu [inlmath]p[/inlmath] (a samim tim sadrži i presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] sa pravama [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]). To bi sad bila neka ravan [inlmath]x+y+k=0[/inlmath], gde parametar [inlmath]k[/inlmath] određujemo tako da rastojanje između presečnih tačaka bude [inlmath]3[/inlmath].

Dakle, iz sistema
[dispmath]x+y+k=0\\
\frac{x}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-2}[/dispmath] dobiju se koordinate presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] i prave [inlmath]p_1[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath]), a iz sistema
[dispmath]x+y+k=0\\
y=z-2\\
x=1[/dispmath] dobiju se koordinate presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] i prave [inlmath]p_2[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath]).

Za koordinate prve presečne tačke dobije se [inlmath]\left(-\frac{3}{4}k+\frac{3}{4},\;-\frac{1}{4}k-\frac{3}{4},\;\frac{1}{2}k+\frac{5}{2}\right)[/inlmath], a za koordinate druge [inlmath](1,\;-k-1,\;-k+1)[/inlmath].

Postavljanjem uslova da je rastojanje između ove dve tačke jednako [inlmath]3[/inlmath],
[dispmath]\left(-\frac{3}{4}k+\frac{3}{4}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{4}k-\frac{3}{4}-(-k-1)\right)^2+\left(\frac{1}{2}k+\frac{5}{2}-(-k+1)\right)^2=3^2[/dispmath] dobiju se dva rešenja po [inlmath]k[/inlmath], čijim se uvrštavanjem u koordinate presečnih tačaka dobiju njihove koordinate, a odatle se odredi i jednačina tražene prave koja te dve tačke sadrži...

Hvala najlepse!!! Sada mi je sve jasno!