Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Prava koja sece prave u tackama cije je rastojanje 3

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Prava koja sece prave u tackama cije je rastojanje 3

Postod rubili25 » Nedelja, 22. Januar 2023, 15:56

Zdravo, da li mi molim vas mozete pomoci oko zadatka? Glasi ovako:

Data je ravan [inlmath]x+y=0[/inlmath] i prave
[dispmath]p_1\colon{x\over3}={y+1\over1}={z-3\over-2}[/dispmath] i
[dispmath]p_2\colon\begin{cases}
y=z-2\\
x=1
\end{cases}[/dispmath] Odrediti pravu [inlmath]p[/inlmath] paralelnu datoj ravni i koja sece date prave u tackama cije je rastojanje [inlmath]3[/inlmath].

Uopste nemam ideju kako da iskoristim informaciju o rastojanju, zato ne znam kako da zapocnem zadatak. :sad3:
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Prava koja sece prave u tackama cije je rastojanje 3

Postod Fare » Nedelja, 22. Januar 2023, 20:18

Vektorske jednačine datih pravi i ravni su:
[inlmath]p_{1}:\space\overrightarrow{r}=\left( 0,-1,3 \right)+t\left( 3,1,2 \right)[/inlmath]

[inlmath]p_{2}:\space\overrightarrow{r}=\left( 1,-2,0 \right)+k\left(0,1,1 \right)[/inlmath]

[inlmath]\pi:\space\left( 1,1,0 \right)\cdot \overrightarrow{r}=0[/inlmath]

gde je [inlmath]\overrightarrow{r}=\left( x,y,z \right);\space \space t,k\in R[/inlmath].
Vektor normale ravni [inlmath]\pi[/inlmath] je vektor [inlmath]\overrightarrow{n}=\left( 1,1,0 \right)[/inlmath].
Neka tražena prava [inlmath]q[/inlmath] seče date prave u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], redom.
Kako tačke [inlmath]A\in p_{1}[/inlmath] i [inlmath]B\in p_{2}[/inlmath], njihove koordinate su
[inlmath]A\left( 3t,t-1,2t+3 \right)[/inlmath]

[inlmath]B\left( 1,k-2,k \right)[/inlmath]

Vektor pravca [inlmath]q[/inlmath] je vektor [inlmath]\overrightarrow{BA}[/inlmath] (ili [inlmath]\overrightarrow{AB}[/inlmath], svejedno)
[inlmath]\overrightarrow{BA}=\left( 3t-1,t-k+1,2t-k+3 \right)[/inlmath]

Kako je prava [inlmath]q[/inlmath] paralelna sa datom ravni [inlmath]\pi[/inlmath], njen vektor pravca [inlmath]\overrightarrow{BA}[/inlmath] je normalan na vektor [inlmath]\overrightarrow{n}[/inlmath], tj:
[inlmath]\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{n}=0[/inlmath]

i dato je
[inlmath]\left| \overrightarrow{BA} \right|=3[/inlmath]

Potrebno je odrediti [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]. Poslednje dve jednakosti daju sistem jednačina:
[dispmath]3t-1+t-k+1=0[/dispmath][dispmath]\left( 3t-1 \right)^{2}+\left( t-k+1 \right)^{2}+\left( 2t-k+3 \right)^{2}=9[/dispmath]
Ova sistem ima dva rešenja:
1) [inlmath]t=1; \space k=4[/inlmath] , a onda je jednačina prave [dispmath]q:\space\overrightarrow{r}=\left( 3,0,5 \right)+\lambda\left( 1,2,4 \right)[/dispmath]
2) [inlmath]t=\frac{1}{11};\space k=\frac{4}{11}[/inlmath] , a onda je jednačina prave [dispmath]q:\space\overrightarrow{r}=\left( \frac{3}{11},-\frac{10}{11},\frac{35}{11} \right)+\lambda\left( \frac{8}{11},-\frac{8}{11},\frac{31}{11} \right)[/dispmath]
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 94 puta

  • +1

Re: Prava koja sece prave u tackama cije je rastojanje 3

Postod Daniel » Ponedeljak, 23. Januar 2023, 13:56

Fare je napisao:Vektorske jednačine datih pravi i ravni su:
[inlmath]p_{1}:\space\overrightarrow{r}=\left( 0,-1,3 \right)+t\left( 3,1,{\color{red}2}\right)[/inlmath]

[inlmath]p_{2}:\space\overrightarrow{r}=\left( 1,-2,0 \right)+k\left(0,1,1 \right)[/inlmath]

[inlmath]\pi:\space\left( 1,1,0 \right)\cdot \overrightarrow{r}=0[/inlmath]

Umesto crvene dvojke treba [inlmath]-2[/inlmath] (s tom ispravkom dobije se dosta nezgodniji, iracionalan rezultat). Ali, svakako je od pomoći prikazani postupak, a posle je lako primeniti ga i na druge brojne vrednosti.



Drugi način bio bi da postavimo ravan koja je paralelna zadatoj ravni [inlmath]x+y=0[/inlmath] i koja sadrži traženu pravu [inlmath]p[/inlmath] (a samim tim sadrži i presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] sa pravama [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]). To bi sad bila neka ravan [inlmath]x+y+k=0[/inlmath], gde parametar [inlmath]k[/inlmath] određujemo tako da rastojanje između presečnih tačaka bude [inlmath]3[/inlmath].

Dakle, iz sistema
[dispmath]x+y+k=0\\
\frac{x}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-2}[/dispmath] dobiju se koordinate presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] i prave [inlmath]p_1[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath]), a iz sistema
[dispmath]x+y+k=0\\
y=z-2\\
x=1[/dispmath] dobiju se koordinate presečne tačke prave [inlmath]p[/inlmath] i prave [inlmath]p_2[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath]).

Za koordinate prve presečne tačke dobije se [inlmath]\left(-\frac{3}{4}k+\frac{3}{4},\;-\frac{1}{4}k-\frac{3}{4},\;\frac{1}{2}k+\frac{5}{2}\right)[/inlmath], a za koordinate druge [inlmath](1,\;-k-1,\;-k+1)[/inlmath].

Postavljanjem uslova da je rastojanje između ove dve tačke jednako [inlmath]3[/inlmath],
[dispmath]\left(-\frac{3}{4}k+\frac{3}{4}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{4}k-\frac{3}{4}-(-k-1)\right)^2+\left(\frac{1}{2}k+\frac{5}{2}-(-k+1)\right)^2=3^2[/dispmath] dobiju se dva rešenja po [inlmath]k[/inlmath], čijim se uvrštavanjem u koordinate presečnih tačaka dobiju njihove koordinate, a odatle se odredi i jednačina tražene prave koja te dve tačke sadrži...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9144
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5053 puta
Pohvaljen: 4880 puta

Re: Prava koja sece prave u tackama cije je rastojanje 3

Postod rubili25 » Sreda, 25. Januar 2023, 01:12

Hvala najlepse!!! Sada mi je sve jasno! :)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 01. Februar 2023, 14:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs