Prijemni ispit ETF – 29. jun 2020.
19. zadatak

Pozdrav

Ako neko nije kojim slučajem uspeo da reši ovaj zadatak ovde ću ostaviti svoje rešenje.

Zadatak glasi:

Date su tačke [inlmath]A(2,2)[/inlmath], [inlmath]A'(−2,−2)[/inlmath], [inlmath]B(4,−4)[/inlmath] i [inlmath]B'(−4,4)[/inlmath]. Duži [inlmath]AA'[/inlmath] i [inlmath]BB'[/inlmath] su ose elipse [inlmath]\varepsilon[/inlmath]. Ako je [inlmath]Y(0,y_0)[/inlmath], [inlmath]y_0>0[/inlmath], tačka preseka [inlmath]y[/inlmath]-ose i elipse [inlmath]\varepsilon[/inlmath], onda je [inlmath]y_0[/inlmath] jednako:
[inlmath]\displaystyle\text{(A)}\;\frac{8}{\sqrt5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(B)}\;\frac{4\sqrt2}{\sqrt5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(C)}\;\frac{8\sqrt2}{\sqrt5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(D)}\frac{4}{\sqrt5}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(E)}\;\frac{32}{\sqrt5}\qquad[/inlmath] [inlmath]\text{(N)}\;\text{Ne znam}[/inlmath]


Kada skiciramo ove dve duži, uočavamo da im je presek u centru Dekartove ravni, odnosno u tački [inlmath]O(0,0)[/inlmath].


Pošto su duži [inlmath]AA'[/inlmath] i [inlmath]BB'[/inlmath] ose elipse, lako dobijamo za poluose
[dispmath]a=2\sqrt2,\;b=4\sqrt2[/dispmath] Dalje možemo uočiti da je elipsa zapravo zarotirana [inlmath]45^\circ[/inlmath] u smeru kazaljke na sat. Ovo se može uočiti tako što izračunamo koeficijent pravca duži [inlmath]B'O[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath], za šta se dobija da je [inlmath]k=-1[/inlmath], što znači da je ugao koji zaklapaju ta duž i [inlmath]x[/inlmath]-osa [inlmath]45^\circ[/inlmath].


Sada je potrebno zarotirati elipsu nazad tako da joj duža osa leži na [inlmath]x[/inlmath]-osi, tako da pritom koordinate tačke [inlmath]Y(0,y_0)[/inlmath] prevedemo u pogodne koordinate koje će predstavljati istu tu tačku, ali u zarotiranom scenariju. Neka to bude tačka [inlmath]Y'(x'_0,y'_0)[/inlmath]


Nacrtajmo sada kružnicu sa centrom u tački [inlmath]O(0,0)[/inlmath], sa poluprečnikom [inlmath]y_0[/inlmath]. U suštini, nacrtali smo trigonometrijski jedinični krug sa poluprečnikom [inlmath]y_0[/inlmath]. Tačka [inlmath]Y(0,y_0)[/inlmath], se nalazi na preseku [inlmath]y[/inlmath]-ose i kružnice, tako da je to zapravo tačka koja se nalazi [inlmath]90^\circ[/inlmath] od početka kruga.

Sada je potrebno zarotirati elipsu [inlmath]45^\circ[/inlmath] u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Analogno tome, potrebno je zarotirati tačku [inlmath]Y(0,y_0)[/inlmath] [inlmath]45^\circ[/inlmath] u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, odnosno, dobićemo koordinate tačke [inlmath]Y'(x'_0,y'_0)[/inlmath].


Time dobijamo
[dispmath]x'_0=-\frac{\sqrt2}{2}y_0\\
y'_0=\frac{\sqrt2}{2}y_0[/dispmath] Dalje, jednačina elipse glasi:
[dispmath]\varepsilon\colon\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\;\Longrightarrow\;\varepsilon\colon\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{8}=1[/dispmath] NAPOMENA: Kako je [inlmath]b[/inlmath] sada poluosa na [inlmath]x[/inlmath]-osi, ono se sad nalazi u imeniocu ispod [inlmath]x^2[/inlmath]. Slično za [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath].

Ubacivanjem [inlmath]x=x'_0=-\frac{\sqrt2}{2}y_0[/inlmath] i [inlmath]y'_0=\frac{\sqrt2}{2}y_0[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{y^2_0}{64}+\frac{y^2_0}{16}=1\\
\frac{5y^2_0}{64}=1\\
y^2_0=\frac{64}{5}\\
y_0=\pm\frac{8}{\sqrt5}[/dispmath] Kako je [inlmath]y_0>0[/inlmath], dobijamo da je rešenje [inlmath]\enclose{box}{\frac{8}{\sqrt5}}[/inlmath]

Ili, možda za nijansu jednostavnije – nakon što smo uočili da je tražena koordinata jednaka crveno obeleženom rastojanju na slici levo,


a zatim datu elipsu zarotirali u njen osnovni položaj (slika desno), tj. zarotirali je za [inlmath]45^\circ[/inlmath] u smeru suprotnom kazaljke sata i odredili joj jednačinu [inlmath]\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{8}=1[/inlmath], a zajedno s njom zarotirali i pravac koji se nalazio na [inlmath]y[/inlmath]-osi i čija je jednačina sada [inlmath]y=-x[/inlmath], tražena vrednost biće jednaka crveno obeleženom rastojanju na desnoj slici. Radi njegovog nalaženja, prvo rešimo sistem
[dispmath]\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{8}=1\\
y=-x[/dispmath] odakle se dobije
[dispmath]x^2=y^2=\frac{32}{5}[/dispmath] Nema potrebe ovo korenovati, jer će nam upravo i biti potrebni ovi kvadrati, zbog Pitagorine teoreme, kojom određujemo crveno obeleženo rastojanje od koordinatnog početka do tačke preseka elipse i pravca [inlmath]y=-x[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2\cdot\frac{32}{5}}=\enclose{box}{\frac{8}{\sqrt5}}[/dispmath]

A može i na nešto komplikovaniji (ali možda i zanimljiviji) način, ako nađemo jednačinu ovako zarotirane elipse a zatim u tu jednačinu uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath] i odatle nađemo [inlmath]y[/inlmath].

U opštem slučaju, kada je elipsa zarotirana za neki ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] (u smeru suprotnom kazaljke sata) u odnosu na osnovni položaj, možemo postaviti novi pravougli koordinatni sistem [inlmath]x'Oy'[/inlmath], koji će u odnosu na [inlmath]xOy[/inlmath] sistem takođe biti zarotiran za [inlmath]\varphi[/inlmath] (u smeru suprotnom kazaljke sata). Tada će, u odnosu na taj novi koordinatni sistem, elipsa biti u svom osnovnom položaju, pa će važiti
[dispmath]\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1[/dispmath] Veza između koordinata [inlmath]x'[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath] i koordinata [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] biće
[dispmath]x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi\\
y'=-x\sin\varphi+y\cos\varphi[/dispmath] Uvrštavanjem izraza za [inlmath]x'[/inlmath] i za [inlmath]y'[/inlmath] u prethodnu jednačinu elipse, i množenjem obe strane sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath], dobija se
[dispmath]b^2x^2\cos^2\varphi+2b^2xy\sin\varphi\cos\varphi+b^2y^2\sin^2\varphi+a^2x^2\sin^2\varphi-2a^2xy\sin\varphi\cos\varphi+a^2y^2\cos^2\varphi-a^2b^2=0\\
\left(b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)x^2+\sin2\varphi\left(b^2-a^2\right)xy+\left(b^2\sin^2\varphi+a^2\cos^2\varphi\right)y^2-a^2b^2=0[/dispmath] (Čim u jednačini krive drugog reda imamo sabirak koji sadrži [inlmath]xy[/inlmath] pomnožen nenultnim koeficijentom, kao što je ovde slučaj, to je znak da je kriva zarotirana u odnosu na svoj osnovni položaj; ukoliko takvog sabirka nema, to znači ili da je kriva u svom osnovnom položaju, ili da je zarotirana za celobrojni umnožak ugla od [inlmath]90^\circ[/inlmath].)

Uvrštavanjem [inlmath]x=0[/inlmath] (jer tražimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu tačke elipse koja se nalazi na [inlmath]y[/inlmath]-osi) i uvrštavanjem [inlmath]\varphi=-45^\circ[/inlmath] (jer je elipsa zarotirana za [inlmath]45^\circ[/inlmath] u smeru kazaljke sata), dobijamo da je
[dispmath]\left(\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}a^2\right)y_0^2=a^2b^2\quad\Longrightarrow\quad y_0=\frac{ab\sqrt2}{\sqrt{a^2+b^2}}[/dispmath] (uzeto je pozitivno rešenje zbog uslova [inlmath]y_0>0[/inlmath])
Uvrštavanjem ranije izračunatih dužina poluosa [inlmath]a=4\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]b=2\sqrt2[/inlmath] dobija se kao konačno rešenje
[dispmath]y_0=\frac{4\sqrt2\cdot\cancel{2\sqrt2}\cdot\sqrt2}{\cancel{2\sqrt2}\sqrt5}=\enclose{box}{\frac{8}{\sqrt5}}[/dispmath]

Pozdrav svima, i ja bih da dam svoj mali doprinos. Evo kako sam ga ja riješila:
Prvo sam našla koordinate žiža elipse. S obzirom da je elipsa zarotirana, koristeći ovu formulu:
[dispmath]e=\sqrt{a^2-b^2}[/dispmath] nećemo dobiti koordinate elipse nego njeno rastojanje od koordinatnog početka, ali to nam može biti od koristi.
[dispmath]e=2\sqrt6[/dispmath] S obzirom da je elipsa zarotirana za [inlmath]-45^\circ[/inlmath] (a samim tim i žiže elipse), ako spustimo normalu iz žiže na [inlmath]x[/inlmath]-osu, dobićemo jednakokraki pravougli trougao. Dužine kateta su jednake koordinatama žiže, a hipotenuza je jednaka upravo [inlmath]e[/inlmath].
Označimo sa [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]y_1[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koordinate prve žiže (one koja se nalazi u drugom kvadrantu). Dakle imamo (zbog trougla)
[dispmath]x_1=\frac{-e}{\sqrt2}\;\land\;y_1=\frac{e}{\sqrt2}[/dispmath] Što znači
[dispmath]x_1=-2\sqrt3,\;y_1=2\sqrt3[/dispmath] Slično dobijamo za drugu žižu (ona koja se nalazi u 4. kvadrantu ([inlmath]x_2=\frac{e}{\sqrt2}\land y_2=\frac{-e}{\sqrt2}[/inlmath]))
[dispmath]x_2=2\sqrt3,\;y_2=-2\sqrt3[/dispmath] E sad za svaku tačku (pa i za [inlmath]Y[/inlmath]) važi:
[dispmath]YF_1+YF_2=2a\;\Longrightarrow\;\sqrt{\left(-2\sqrt3\right)^2+\left(y_0-2\sqrt3\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt3\right)^2+\left(y_0+2\sqrt3\right)^2}=8\sqrt2\\
\sqrt{y_0^2-4y_0\sqrt3+24}=8\sqrt2-\sqrt{y_0^2+4y_0\sqrt3+24}[/dispmath] Sada kad kvadriramo dobijemo:
[dispmath]\cancel{y_0^2}-4y_0\sqrt3+\cancel{24}=128-16\sqrt{2y_0^2+8y_0\sqrt3+48}+\cancel{y_0^2}+4y_0\sqrt3+\cancel{24}\\
16\sqrt{2y_0^2+8y_0\sqrt3+48}=128+8y_0\sqrt3[/dispmath] Kad podjelimo obe strane sa [inlmath]8[/inlmath] i opet kvadriramo dobićemo:
[dispmath]8y_0^2+\cancel{32y_0\sqrt3}+192=256+\cancel{32y_0\sqrt3}+3y_0^2\\
5y_0^2=64\;\Longrightarrow\;y_0^2=\frac{64}{5}\;\Longrightarrow\;y_0=\frac{8}{\sqrt5}[/dispmath]